वृत्त की परिभाषा, सूत्र, ट्रिक्स और उदाहरण

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चलिए आज हम वृत्त की परिभाषा, सूत्र, ट्रिक्स और उदाहरण की समस्त जानकारी पढ़ते और समझते हैं।

वृत्त की परिभाषा

वृत्त एक ऐसी बिंदु का बिंदुपथ हैं, जो इस तरह घूमता हैं कि उसकी दूरी एक स्थिर बिंदु से सदैव बराबर रहती हैं स्थिर बिंदु को वृत्त का केंद्र, अचल दूरी को वृत्त की त्रिज्या एवं या अर्धाश तथा बिंदु पथ को परिधि कहते हैं।

केंद्र से गुजरने वाली वह शीधी रेखा जो वृत्त को दो बराबर खंडों में विभक्त करती हैं वृत्त का व्यास कहलाती हैं, वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या का दोगुना होता हैं।

किसी वृत्त की परिधि की लंबाई उसकी व्यास की लंबाई की लगभग 22/7 गुना होती हैं इसे ग्रीक अक्षर π द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैं अक्षर π को पाई पड़ा जाता हैं, जहाँ π = परिधि/व्यास = 22/7 = 3.1428571 होता हैं।

परिधि पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा को वृत्त की जीवा या चाप कर्ण कहते हैं।

वृत्त के सूत्र

• वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या = 2r
• वृत्त की परिधि = 2π त्रिज्या = 2πr
• वृत्त की परिधि = π × व्यास = πd
• वृत्त का क्षेत्रफल = π × त्रिज्या² = πr²
• वृत्त की त्रिज्या = √वृत्त का क्षेत्रफल/π
• अर्द्ववृत्त की परिमिति = (n + 2)r = (π + 2)d/2
• अर्द्ववृत्त का क्षेत्रफल = 1/2πr² = 1/8 πd²
• त्रिज्याखण्ड का क्षेत्रफल = θ/360° × वृत्त क्षेत्रफल = θ/360° × πr²
• त्रिज्याखण्ड की परिमिति = (2 + πθ/180°)r
• वृतखण्ड का क्षेत्रफल = (πθ/360° – 1/2 sinθ)r²
• वृतखण्ड की परिमिति = (L + πrθ)/180° , जहाँ L = जीवा की लम्बाई
• चाप की लम्बाई = θ/360° × वृत्त की परिधि
• चाप की लम्बाई = θ/360° × 2πr
• दो संकेन्द्रीय वृत्तों जिनकी त्रिज्याए R₁, R₂, (R₁ ≥ R₂) हो तो इन वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल = π(r²₁– r²₂)

वृत्त के उदाहरण

Q.1 उस व्रत की परिधि क्या होगी जिसकी त्रिज्या 21 सेंटीमीटर है?
A. 132 सेंटीमीटर
B. 146 सेंटीमीटर
C. 154 सेंटीमीटर
D. 172 सेंटीमीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
परिधि = 2πr
= 2 × 22/7 × 21
= 132
Ans. 132 सेंटीमीटर

Q.2 एक व्रत की परिधि 352 सेंटीमीटर हैं इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 9856 वर्ग सेंटीमीटर
B. 8956 वर्ग सेंटीमीटर
C. 6589 वर्ग सेंटीमीटर
D. 5986 वर्ग सेंटीमीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
2πr = 352
r = 176/π
176/22 × 7
= 56 सेंटीमीटर
क्षेत्रफल = πr²
= 22/7 × 56 × 56
Ans. 9856 वर्ग सेंटीमीटर

Q.3 56 सेंटीमीटर व्यास वाले अर्द्ध व्रत का परिमाप क्या होगा?
A. 144 सेंटीमीटर
B. 154 सेंटीमीटर
C. 166 सेंटीमीटर
D. 232 सेंटीमीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
πr = 22/7 × 28
= 88 सेंटीमीटर
अर्द्ध व्रत का परिमाप = 88 + 56
Ans. 144 सेंटीमीटर

Q.4 एक अर्द्ध गोलाकार खिड़की जिसका व्यास 63 सेंटीमीटर हैं परिधि क्या होगी?
A. 126 सेंटीमीटर
B. 162 सेंटीमीटर
C. 198 सेंटीमीटर
D. 2161 सेंटीमीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
r = 63/2
गोलाकार खिड़की की परिधि = 2πr/2 + 2r
22/7 × 63/2 + 2 × 63/2
99 + 63
162 सेंटीमीटर
Ans. 162 सेंटीमीटर

Q.5 एक पहिए का व्यास 1.26 मीटर हैं। यह 500 चक्कर में कितनी दूरी तय करेगा?
A. 2530 मीटर
B. 1980 मीटर
C. 1492 मीटर
D. 2880 मीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
पहिए की परिधि = 22/7 × 1.26
= 3.96 मीटर
500 चक्करों को पूरा करने में चली गई दूरी = 3.96 × 500
Ans. 1980 मीटर

Q.6 उस पहिए का व्यास ज्ञात कीजिए जो 2 किलोमीटर 26 डेकामीटर की दूरी तय करने में 113 चक्कर लगाता हैं?
A. 4 4/13 मीटर
B. 6 4/11 मीटर
C. 12 4/11 मीटर
D. 12 8/11 मीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
पहिए द्वारा प्रति चक्कर चली दूरी
= 2 किलोमीटर 26 डेकामीटर/113
= 2260/113
= 20 मीटर
πd = 20
d = 20 × 7/22
d = 6 ⁴⁄₁₁ मीटर
Ans. 6 ⁴⁄₁₁ मीटर

Q.7 किसी पहिए का व्यास 3 मीटर हैं। यह पहिया एक मिनट में 28 चक्कर लगाता हैं। 5.280 किलोमीटर की दूरी चलने में यह पहिया निम्न समय लेगा?
A. 10 मिनट
B. 20 मिनट
C. 30 मिनट
D. 40 मिनट

हल:- प्रश्नानुसार,
पहिए की परिधि = 3 × 22/7
= 66/7 मीटर
1 मिनट में चली दूरी = 66/7 × 28
= 264 मीटर
5.280 किलोमीटर में लगा समय
= 5280 मीटर/264 मीटर/मिनट
= 20 मीटर
Ans. 20 मीटर

Q.8 40 सेंटीमीटर व्यास वाले एक पहिए द्वारा 176 मीटर दूरी तय करने में लगाए गए चक्करों की संख्या होगी?
A. 140
B. 150
C. 160
D. 166

हल:- प्रश्नानुसार,
पहिए द्वारा एक चक्कर में चली दूरी = 22/7 × 40
= 880/7 सेंटीमीटर
176 मीटर चलने में लगे चक्करों की संख्या
= 176 मीटर चलने में लगे चक्करों की संख्या
= 17600 × 7/880
= 140 चक्कर
Ans. 140 चक्कर

Q.9 एक वृतीय अंगूठी की आंतरिक तथा बाह्य परिधियां क्रमशः 22 सेंटीमीटर तथा 44 सेंटीमीटर हैं। अंगूठी की चौड़ाई होगी?
A. 3.5
B. 3
C. 11
D. 22

हल:- प्रश्नानुसार,
माना कि वृत्त की त्रिज्याएँ r1 तथा r2 हैं।
2π(r₂ – r₁)
44 – 22
r₂ – r₁ = 22 × 7/2 × 22
= 7/2
= 3.5
Ans. 3.5 सेंटीमीटर

Q.10 दो समकेंद्रीय व्रतों की परिधियां क्रमशः 352 सेंटीमीटर तथा 262 सेंटीमीटर हैं। उनकी त्रिज्याओं का अंतर होगा?
A. 5 सेंटीमीटर
B. 7 सेंटीमीटर
C. 14 सेंटीमीटर
D. 44 सेंटीमीटर

हल:- प्रश्नानुसार,
माना त्रिज्याएँ R तथा r सेंटीमीटर हैं।
2πR – 2pr
352 – 264
R – r = 14 सेंटीमीटर
Ans. 14 सेंटीमीटर

Q.11 एक व्रत की त्रिज्या को दुगुना कर दिया जाए तो उसका क्षेत्रफल मूल वृत्त के क्षेत्रफल का कितना गुना होगा?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8

हल:- प्रश्नानुसार,
यदि वृत्त की प्रारंभिक त्रिज्या = r²
परिणामी त्रिज्या = 2r
मूल वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
परिणामी वृत्त का क्षेत्रफल = π(2r)²
= 4πr²
अभीष्ट अनुपात = 4πr²/πr²
= 4 : 1

Q.12 यदि किसी व्रत की त्रिज्या दूनी कर दी जाए तो नए वृत्त की परिधि तथा व्यास में क्या अनुपात होगा?
A. π + 2
B. π/2
C. π
D. 2π

हल:- प्रश्नानुसार,
माना, वृत्त की त्रिज्या = r
वृत्त की त्रिज्या = 2πr
वृत्त की त्रिज्या = 2r
वृत्त की परिधि = 2.2 πr
= 4 πr
नए वृत्त का व्यास = 2.2r
= 4r
अनुपात = 4πr/4r
= π
Ans. π

Q.13 10 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले व्रत की त्रिज्या 4 सेंटीमीटर कम कर दी गई हैं तो क्षेत्रफल हास का प्रतिशत होगा?
A. 36%
B. 40%
C. 64%
D. 98%

हल:- प्रश्नानुसार,
क्षेत्रफल में ह्रास का प्रतिशत
= π(10)² – π(6)²/π(10)²
= (100 π – 36 π)/100π
= 64%
Ans. 64%

Q.14 यदि किसी वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल का माप समान हो, तो वृत्त का अर्ध व्यास हैं?
A. π इकाई
B. 7 इकाई
C. 4 इकाई
D. 2 इकाई

हल:- प्रश्नानुसार,
2πr = πr²
r = 2 इकाई

Q.15 यदि किसी व्रत की त्रिज्या में 50% कमी कर दी जाए तो उसका क्षेत्रफल कम होगा?
A. 25%
B. 20%
C. 75%
D. 100%

हल:- प्रश्नानुसार,
माना कि वृत्त की त्रिज्या = r
क्षेत्रफल = πr²
नए वृत्त की त्रिज्या = r/2
क्षेत्रफल = π r²/4
= (π r² – π r²/4)/πr² × 100
= 75%
Ans. 75%

Q.16 यदि किसी वृत्त की त्रिज्या में 100% की वृद्धि की जाए, तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
A. 200%
B. 300%
C. 400%
D. 900%

हल:- प्रश्नानुसार,
माना त्रिज्या = a
क्षेत्रफल = πa²
वृद्धि के बाद त्रिज्या = 2a
क्षेत्रफल = 4πa²
% वृद्धि = 3πa²/πa² × 100
= 300%

Q.17 यदि एक व्रत के अर्धव्यास में 50% की कमी कर दी जाए तो उसकी परिधि में कमी हो जाएगी?
A. 25%
B. 50%
C. 75%
D. 100%

हल:- प्रश्नानुसार,
माना वृत्त का अर्द्ध व्यास = त्रिज्या
वृत्त की परिधि = 2πr
अर्द्ध व्यास = r/2
वृत्त की परिधि = 2π r/2
= πr
परिधि में % कमी = 2πr – πr/2πr × 100
= πr/2πr × 100
= 50%
Ans. 50%

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