क्षेत्रमिति (Mensuration) के सूत्र, उदाहरण और प्रश्न उत्तर

क्षेत्रमिति

नमस्कार छात्रों पिछली पोस्ट में  गणित के महत्वपूर्ण अध्यय नाव और धारा (Boat and stream) को पढ़ चुके है।

इस पेज पर हम क्षेत्रमिति (Mensuration) के सूत्र, परिभाषा, उदाहरण और प्रश्न उत्तर आदि विस्तार से पढ़ेगे।

यह थोड़ा सा बड़ा अध्यय है इसलिए आपको समझने में ऑयर सूत्र याद करने में समय लगेगा।

लेकिन दो से तीन बार इस पोस्ट को पड़कर आप क्षेत्रमिति को समझकर क्षेत्रमिति के सभी प्रश्न आसानी से हल कर पाएंगे।

क्षेत्रमिति (Mensuration)

क्षेत्रमिति के अंतर्गत हम द्विविमीय और त्रिविमीय आकृति के बारे में पड़ते है। जहाँ हम आयतन, क्षेत्रफल, आदि को निकालना सीखते है।

द्विविमीय आकृतियां- आयत, वर्ग, समकोण त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज, समबाहु त्रिभुज, विषमबाहु त्रिभुज आदि।

त्रिविमीय आकृतियां – घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, शंकु का छिन्नक आदि।

क्षेत्रमिति में हम आयतन, क्षेत्रफल, आदि को निकालना सीखते है।

द्विविमीय आकृतियां

1. त्रिभुज

तीन भुजाओं से घिरा समतल क्षेत्र त्रिभुज कहलाता हैं। त्रिभुज के लिए ‘∆’ चिन्ह का प्रयोग किया जाता हैं। किसी भी त्रिभुज में तीन भुजाएं, तीन शीर्ष तथा तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता हैं।

भुजाओं के आधार पर त्रिभुज के प्रकार

भुजाओं के आधार पर त्रिभुज के निम्न 3 प्रकार होते हैं।

समबाहुत्रिभुज – जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएं बराबर हो, उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं, समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान 60° होता हैं।

  • समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4)×भुजा×भुजा
  • समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3×भुजा
  • शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = (√3/4)×भुजा

समद्धिबाहु त्रिभुज – जिस त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर होंती है उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं।

उदाहरण –  ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिसमे AB और AC भुजाओं की लम्बाइयाँ बराबर हैं। अर्थात AB = AC भुजा पर लम्ब A को शीर्ष तथा BC को इस समद्विबाहु त्रिभुज का आधार कहते हैं।

  • समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a × √4b^2 – a^2) / 4
  • समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = a + 2b [जहाँ b=c हैं]
  • शीर्ष बिंदु A से डाले गए लम्ब की लम्बाई = (√4b^2 – a^2) / 2

विषमबाहु त्रिभुज – जिस त्रिभुज की तीनों भुजाएं असमान लम्बाई की हो, उसे विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं।

उदाहरण –  AB बराबर नहीं होता BC के, BC बराबर नहीं होता CA के।

  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
  • विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

कोणों के आधार पर त्रिभुज के प्रकार

कोणों के आधार पर त्रिभुज निम्न प्रकार के होते हैं

समकोण त्रिभुज – जिस त्रिभुज का एक कोण समकोण अर्थात 90° का हो, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।

  • समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई
  • समकोण त्रिभुज का परिमाप = (लम्ब + आधार + कर्ण) = (a + b + c)
  • समकोण त्रिभुज का कर्ण = (√लम्ब^2 +आधार^2)
  • समकोण त्रिभुज का लम्ब = (√कर्ण^2 – आधार^2)
  • समकोण त्रिभुज का आधार = (√कर्ण^2 – लम्ब^2)

न्यूनकोण – जिस त्रिभुज के तीनों कोण न्यूनकोण अर्थात 90° से कम हो, उसे न्यूनकोण त्रिभुज कहते है।

अधिककोण – जिस त्रिभुज का एक कोण अधिककोण अर्थात 90° से अधिक हो, उसे अधिककोण त्रिभुज कहते हैं।

2.आयत

चार भुजाओं की आकृति जिसमें चार कोण होते हैं। इसकी दो भुजाएं (लंबाई) और दो भुजाएं (चौड़ाई) कहलाती है।

  • आयत का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
  • आयत का क्षेत्रफल = लंबाई ×चौड़ाई
  • आयत का विकर्ण =√(लंबाई^2 + चौड़ाई^2)

आयात के लिए कुछ सिध्दांत – 

1. जब किसी आयत में एक विकर्ण डाला जाए तो उसमें बने दो त्रिभुज के क्षेत्रफल समान होगें।

2. जब आयत में दो विकर्ण डाले जाए तो दोनों की लम्बाई समान होगी और आमने सामने के कोण भी समान होगें।

3. जब किसी आयत के अंदर बड़े से बड़े व्रत को बनाया जाए तब आयत की चौड़ाई व्रत के व्यास के बराबर होती हैं। तो अन्तः व्रत का क्षेत्रफल (πb^2 / 4) होता हैं।

4. जब आयत के बाहर की तरफ व्रत बना हो तब आयत का विकर्ण व्रत के व्यास के बराबर होता हैं।

Case#1:- आयत की चौड़ाई = वृत का व्यास

चौड़ाई / 2 = व्रत की त्रिज्या

b/2 = r

r = b/2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

πr^2 = π(b/2)^2

आयत के अन्तः व्रत का क्षेत्रफल = (πb^2)/4

Case#2:- आयत के विकर्ण = व्रत का व्यास

विकर्ण/2 = व्रत की त्रिज्या

r = D/2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

π r^2 = π (D/2)^2

आयत के बाह्य वृत का क्षेत्रफल = (πD^2)/4

Case#3:- आंतरिक वृत और बह्यवृत के अनुपातों का क्षेत्रफल

आंतरिक वृत : बह्यवृत

1. त्रिज्या का अनुपात = b : d

2. परिधि का अनुपात = b : d

3. क्षेत्रफल का अनुपात = b^2 : d^2

Note:-

  • जब किसी आयत के अंतवृत और बाह्यव्रत के संबंधों का अनुपात दर्शाया जाए।
  • त्रिज्या और परिधि के अनुपात हमेशा समान होगें, इनके वर्ग करने पर क्षेत्रफल का अनुपात प्राप्त हो।
  • आयत की चौथाई और विकर्ण ही अंतवृत और बह्यवृत की त्रिज्या और परिधि के अनुपात होते हैं।

3. वर्ग (Square)

वर्ग की सभी भुजाएं बराबर होती हैं।

वर्ग के विकर्ण की लम्बाई समान होती हैं।

वर्ग के सभी कोण समान एवं 90° के होते हैं।

वर्ग के सूत्र –

  • वर्ग का परिमाप = 4×भुजा
  • वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
  • वर्ग का विकर्ण = √2भुजा

Case#1:- जब वर्ग के अंदर बड़ा से बड़ा व्रत बना हो।

अन्तः व्रत का क्षेत्रफल = (π a^2)/4

Case#2. जब वर्ग के बाहर बड़े से बड़ा व्रत बना हो।

बाह्य व्रत का क्षेत्रफल:- (πa^2)/2

Note:-

  • आंतरिक वृत और बह्यवृत के वर्ग में हमेशा 1 : √2 होता हैं।
  • परिधि का अनुपात = 1 : √2
  • क्षेत्रफल का अनुपात = 1 : 2
  • वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात = 1 : 2

Case#3:- जब वर्ग के विकर्ण पर वर्ग बनाया जाए

भुजाओं का अनुपात = 1 : √2

क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 2

Case#4:- जब वर्ग के विकर्ण पर समबाहु त्रिभुज बनाया जाए

भुजाओं का अनुपात = 1 : √2

क्षेत्रफलों का अनुपात = 2 : √3

वर्ग के महत्वपूर्ण सूत्र

  • त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
  • समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
  • व्रत का क्षेत्रफल = πr^2 (जहाँ r वृत्त की त्रिज्या हैं।)
  • व्रत की परिधि = 2πr
  • व्रत की त्रिज्या = परिधि/2r
  • समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × भुजा × भुजा
  • समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
  • शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = (√3/4) × भुजा
  • समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a × √4b^2 – a^2)/4
  • समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = a + 2b
  • शीर्ष बिंदु A से डाले गए लम्ब की लम्बाई = (√4b^2 – a^2)/2
  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
  • विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
  • विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
  • आयत का परिमाप = 2(l + b)
  • आयत का क्षेत्रफल = l × b
  • आयत का विकर्ण =√(l^2 + b^2)
  • वर्ग का परिमाप = 4a
  • वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा
  • वर्ग का विकर्ण = √2a
  • कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × (लम्बाई + चौड़ाई) × ऊँचाई

त्रिविमीय आकृतिया

1. घन (Cube)

  • घन का आयतन = a × a × a
  • घन का परिमाप = 4 × a × a
  • घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 6 a^2 वर्ग सेंटीमीटर।
  • घन का विकर्ण = √3a सेंटीमीटर।

2.घनाभ (Cuboid)

  • घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
  • घनाभ का परिमाप = 2(l + b) × h
  • घनाभ के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
  • घनाभ का विकर्ण = √l^2 + b^2 + h^2

3. बेलन (Cylinder)

  • बेलन का आयतन = πr^2h
  • बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh
  • बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = (2πrh + 2π r^2 h) वर्ग सेंटीमीटर।

4. शंकु (Cone)

  • L = √(r^2 + h^2)
  • शंकु का आयतन = (πr^2h)/3 घन सेंटीमीटर।
  • शंकु का वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = πrl वर्ग सेंटीमीटर।
  •  शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = (πrl + πr^2) वर्ग सेंटीमीटर।

5. गोला (Sphere)

  • गोला का आयतन = (4πr^3)/3 घन सेंटीमीटर
  • गोले का वक्र पृष्ठ = 4πr^2 वर्ग सेंटीमीटर
  • अर्द्धगोले का आयतन = (2πr^3)/3 घन सेंटीमीटर
  • अर्द्धगोले का सम्पूर्ण पृष्ठ = 3πr^2 वर्ग सेंटीमीटर

6. शंकु का छिन्नक (Frustum of a Cone)

  • शंकु के छिन्नक का आयतन = (πh)/3 (R^2 + r^2 + Rr)
  • तिर्यक भाग का क्षेत्रफल = π (R + r)^3 , l^2 = h^2 + (R – r)^2
  • छिन्नक के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = π[R^2 + r^2 + l(R + r)]

क्षेत्रमिति (Mensuration) के प्रश्न और उत्तर

प्रश्न 1. एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग कितना होता हैं?

उत्तर:- 180°

प्रश्न 2. एक त्रिभुज की भुजाएं क्रमशः 3 सेंटीमीटर, 4 सेंटीमीटर, और 5 सेंटीमीटर हैं इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

हल:- प्रश्ननानुसार,

a = 3 सेंटीमीटर

b = 4 सेंटीमीटर

c = 5 सेंटीमीटर

त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2

s = (3 + 4 + 5)/2

s = 12/2

s = 6

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

∆ = √6(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5)

∆ = √6 × 3 × 2 × 1

∆ = √36

∆ = 6

उत्तर:- 6 वर्ग सेंटीमीटर।

प्रश्न 3. एक त्रिभुज का परिमाप 100 मीटर हैं, तथा इसकी भुजाएं 1 : 2 : 2 के अनुपात में हैं, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग मीटर में) है?

उत्तर:- 100√15

प्रश्न 4. एक त्रिभुज के आधार की लम्बाई 15 मीटर तथा ऊँचाई 12 मीटर हैं, एक दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगुना हैं तथा इस त्रिभुज के आधार की लंबाई 20 मीटर हैं, इस त्रिभुज की ऊँचाई क्या होंगी?

हल:- पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

= (15 × 12)/2

= 90 वर्ग मीटर

दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × 90

क्षेत्रफल = 180 वर्ग मीटर

आधार = 20 मीटर

दूसरे त्रिभुज की ऊंचाई = (क्षेत्रफल × 2)/आधार

= (180 × 2)/20

उत्तर:- 18 मीटर।

प्रश्न 5. एक आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 7 : 3 हैं यदि मैदान का क्षेत्रफल 189 मीटर^2 हो तो मैदान के चारों और तीन बार लपेटने में कुल कितना तार लपेटना पड़ेगा?

हल:- आयताकार मैदान की लंबाई = 7x मीटर

तथा आयताकार मैदान की चौड़ाई = 3x मीटर

आयताकार मैदान का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

189 = (7x) × (3x)

189 = 21 x^2

x^2 = 189/21

x^2 = 9

x = 3 मीटर

अतः लम्बाई = 7x

7 × 3 = 21 मीटर

तथा चौड़ाई = 3x

3 × 3 = 9 मीटर

आयताकार मैदान का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)

= 2(21 + 9)

= 60 मीटर

अतः तीन चक्कर में लपेटा गया कुल तार = 3 × परिमाप

= 3 × 60

उत्तर:- 180 मीटर

प्रश्न 6. एक आयताकार क्षेत्रफल की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 40 मीटर और 30 मीटर हैं उस आयताकार क्षेत्रफल का परिमाप विकर्ण और क्षेत्रफल क्या होगा?

हल:- लम्बाई = 40 मीटर

चौड़ाई = 30 मीटर

आयत का परिमाप = 2(l + b)

= 2(40 + 30)

= 2 × 70

उत्तर:- 140 मीटर

आयत का क्षेत्रफल = l × b

= 40 × 30

उत्तर:- 1200 वर्ग मीटर

आयत का विकर्ण =√(l^2 + b^2)

= √(40)^2 + (30)^2

= √1600 + 900

= √2500

उत्तर:- 50 मीटर

प्रश्न 7. एक आयत की लम्बाई 15 सेंटीमीटर और इसके विकर्ण की लम्बाई 17 सेंटीमीटर हो तो आयत का क्षेत्रफल कितना होगा?

हल:- विकर्ण = 17 सेंटीमीटर

लम्बाई = 15 सेंटीमीटर

आयत का विकर्ण =√(l^2 + b^2)

17 = √l^2 + (15)^2

(17)^2 = l^2 + (15)^2

(17)^2 – (15)^2 = l^2

289 – 225 = l^2

L^2 = 64

L = 8

आयत का क्षेत्रफल = l × b

= 8 × 15

उत्तर:- 120 वर्ग सेंटीमीटर।

प्रश्न 8. एक कमरा 20 मीटर लम्बा हैं और 15 मीटर चौड़ा हैं इसके फर्श पर 60 सेंटीमीटर चौड़ी दरी बिछाने का खर्च 20 रूपए/मीटर की दर से कितना होगा।

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 20 × 15

= 300 मीटर।

क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

300 = l × 60/100

5 = l/100

L = 500

= 500 × 20

= 10,000

उत्तर:- 10,000

प्रश्न 9. एक आयताकार पार्क की लम्बाई 90 मीटर और चौड़ाई 60 मीटर हैं, इसके अंदर चारों और 5 मीटर चौड़ा रास्ता हैं, इस रास्ते पर 15 रूपए/वर्ग मीटर की दर से रुड़ी बिछाने का खर्च कितने रूपए होगा?

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 90 × 60

= 5400 वर्ग मीटर

क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 80 × 50

= 40,000 वर्ग मीटर

रास्ते का क्षेत्रफल = 5400 – 4000

= 1400 वर्ग मीटर

= 1400 × 15

= 21000 रूपए

उत्तर:- 21000 रूपए।

प्रश्न 10. 75 मीटर लम्बे और 60 मीटर चौड़े एक बगीचे के ठीक बीचों-बीच लम्बाई के समांतर 5 मीटर चौड़ा रास्ता बना है तो बताइए उस रास्ते का क्षेत्रफल क्या है?

उत्तर:- 375 वर्ग मीटर।

प्रश्न 11. एक आयताकार खेत के चारों और अंदर से सीमा से लगा हुआ 8 मीटर चौड़ा रास्ता बना हैं यदि खेत को लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 180 मीटर और 150 मीटर हो तो रास्ता का क्षेत्रफल क्या होगा?

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 180 × 150

= 27000 वर्ग मीटर

क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 164 × 134

= 21,976 वर्ग मीटर

रास्ते का क्षेत्रफल = 27000 – 21,976

= 5024

उत्तर:- 5,024 वर्ग मीटर।

प्रश्न 12. 120 मीटर लम्बाई और 80 मीटर चौड़ाई के आयताकार क्षेत्रफल के बीचों बीच अंदर की तरफ 8 मीटर चौड़ा दो परस्पर समकोण पर काटते हुए दो रास्ते बने हैं, उस रास्ते का क्षेत्रफल बताइए?

उत्तर:- 1,536

प्रश्न 13. एक आयत का क्षेत्रफल 252 वर्ग सेंटीमीटर हैं, इसकी लम्बाई तथा चौड़ाई 9 : 7 हैं, इसका परिमाप क्या हैं?

हल:- आयत का क्षेत्रफल = 252

लम्बाई = 9

चौड़ाई = 7

9x × 7x = 252

63x^2 = 252

x^2 = 4

x = 2

9 × 2 = 18

7 × 2 = 14

आयत का परिमाप = 2(l + b)

= 2(18 + 14)

= 2 × 32

= 64

उत्तर:- 64 सेंटीमीटर।

प्रश्न 14. किसी आयत की लम्बाई और उसका परिमाप 5 : 16 के अनुपात में हो तो इसकी लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात क्या होगा?

उत्तर:- 5 : 3

प्रश्न 15. यदि किसी आयताकार भूखण्ड की लम्बाई में 5% की वृद्धि और चौड़ाई में 10% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?

हल:- क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 100% × 100%

= (105% × 90%)/100

= 189/2

= 94.5%

= 100% – 94.5%

= 5.5%

उत्तर:- 5.5% की कमी होगी।

प्रश्न 16. किसी आयत की लम्बाई में 10% की वृद्धि और चौड़ाई में 10% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?

उत्तर:- 1% की कमी।

प्रश्न 17. किसी आयत की लम्बाई में 80% की वृद्धि और चौड़ाई में 50% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?

उत्तर:- 10% की कमी।

प्रश्न 18. विरजन के उपरान्त एक तौलिए की लम्बाई में 20% की कमी और चौड़ाई में 10% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?

उत्तर:- 28% की कमी।

प्रश्न 19. किसी आयत की लम्बाई में 50% की वृद्धि और चौड़ाई में 50% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?

उत्तर:- 25% की कमी।

प्रश्न 20. किसी आयताकार खेत की लम्बाई में 70% की वृद्धि और चौड़ाई में 50% की कमी कर दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने % की वृद्धि या कमी होगी?

उत्तर:- 15% की कमी।

प्रश्न 21. एक आयताकार मैदान का परिमाप 480 मीटर हैं, इसकी लम्बाई और चौड़ाई का अनुपात 5 : 3 हैं बताइए उसका क्षेत्रफल कितना होगा?

उत्तर:- 13,500

प्रश्न 22. एक आयत का विकर्ण 10 सेंटीमीटर हैं तथा यह आयत की लम्बाई का 2 गुना हैं, बताइए आयत का क्षेत्रफल कितना हैं?

हल:- आयत का विकर्ण =√(l^2 + b^2)

10 = √(5)^2 + b^2

10^2 = 5^2 + b^2

100 = 25 + b^2

b^2 = 100 – 25

b^2 = 75

b = 5√3

क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

= 5 × 5√3

= 25√3

उत्तर:- 25√3 वर्ग सेंटीमीटर।

प्रश्न 23. 28 सेंटीमीटर लम्बे और 14 सेंटीमीटर चौड़े आयत के अंतर्गत खींचे जाने वाले व्रत का क्षेत्रफल कितना हैं?

हल:- अन्तः व्रत का क्षेत्रफल = (πb^2 / 4) होता हैं।

= (22 ×7 × 7)/7

= 22 × 7

= 154

उत्तर:- 154 सेंटीमीटर।

प्रश्न 24. 8 मीटर लम्बे और 6 मीटर चौड़े कमरे में 16 मीटर चौड़ा कालीन बिछाया गया उस कालीन की लम्बाई कितनी हैं?

उत्तर:- 30 मीटर।

प्रश्न 25. आयताकार खेत की लम्बाई, चौड़ाई से 20 मीटर अधिक हैं खेत के चारों ओर बाढ़ लगाने का खर्च 26.50 रूपए की दर से 5300 रूपए हैं बताइए उस खेत की लम्बाई कितनी हैं?

उत्तर:- 60 मीटर।

प्रश्न 26. उस वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा जिसके विकर्ण की लंबाई 6 सेंटीमीटर हैं?

उत्तर:- क्षेत्रफल = d^2/2

= (6 × 6)/2

= 18

उत्तर:- 18 सेंटीमीटर।

प्रश्न 27. एक वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई में 20% की वृद्धि करने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

= [(100% + 20%) × (100% + 20%)]/100

= (120 × 120)/100

= 144

= 144 – 100

= 44%

उत्तर:- 44% की वृद्धि।

प्रश्न 28. किसी वर्गाकार खेत की भुजा 45 मीटर हैं उस खेत का क्षेत्रफल होगा?

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

= 45 × 45

उत्तर:- 2025

प्रश्न 29. 120 मीटर भुजा केवर्गाकार मैदान के बीचों बीच परस्पर समकोण पर काटती हुए 20 मीटर चौड़ी दो पट्टियां बनी हैं, बताइए पट्टियों को कर शेष मैदान का क्षेत्रफल कितना होगा?

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

= 120 × 120

= 14,400 वर्ग मीटर

क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

= (120 × 120) + (120 × 120)

= 2400 + 2400

= 4800

क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

= 20 × 20

= 400

= 4800 – 400

= 4400

शेष मैदान का शेषफल = 14,400 – 4400

उत्तर:- 10,000

प्रश्न 30. किसी वर्ग के अंतवृत की त्रिज्या 2√7 सेंटीमीटर हैं बताइए वर्ग के परिवृत्त का क्षेत्रफल कितना हैं?

उत्तर:- 176 सेंटीमीटर।

प्रश्न 31. एक वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई में 25% की वृद्धि करने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

हल:- क्षेत्रफल = भुजा × भुजा

= [(100% + 25%) × (100% + 25%)]/100

= (125 × 125)/100

= 625/4

= 156.25

= 156.25 – 100

= 56.25%

उत्तर:- 56.25% की वृद्धि।

प्रश्न 32. किसी आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 35 मीटर और 30 मीटर हैं, इसमें से 5 मीटर भुजा की कितनी वर्गाकार क्यारियां बनाई जा सकती हैं?

हल:- (बड़ी वस्तु का क्षेत्रफल)/(छोटी वस्तु का क्षेत्रफल)

= (35 × 30)/(5 × 5)

= 7 × 6

उत्तर:- 42

प्रश्न 33. किसी कमरे के फर्श की माप 10 मीटर और 8 मीटर हैं इस पर अधिकतम माप की कितनी वर्गाकार डिजाइन बनाई जा सकती हैं?

उत्तर:- 20

प्रश्न 34. एक आयत और एक वर्ग के क्षेत्रफल समान हैं यदि आयत की लम्बाई 90 मीटर और चौड़ाई 80 मीटर हैं तो वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए?

हल:- आयत का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल

लम्बाई × चौड़ाई = a^2

90 × 80 = a^2

7200 = a^2

a^2 = 7200

a = √7200

a = 60√2

उत्तर:- 60√2

प्रश्न 35. 25 मीटर लम्बे 20 मीटर चौड़े आयताकार खेत से बनाए गए बड़े से बड़े वर्गाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना हैं?

उत्तर:- 400

प्रश्न 36. एक त्रिभुजाकर खेत की भुजाएं क्रमशः 20 मीटर, 21 मीटर तथा 29 मीटर लम्बी हैं इस खेत में 25 रूपए प्रति वर्ग मीटर की दर से फसल काटने का खर्च क्या होगा?

हल:- a = 20, b = 21, c = 29

s = (a + b + c)/2

s = (20 + 21 + 29)/2

s = 70/2

s = 35

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

= √35 (35 – 20) (35 – 21) (35 – 29)

= √35 × 15 × 14 × 6

= √210 × 210

= 210

= 210 × 25 रूपए

उत्तर:- 5250 रूपए

प्रश्न 37. एक समकोण त्रिभुज का आधार 12 सेंटीमीटर तथा कर्ण 13 सेंटीमीटर हैं इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?

हल:- AC^2 = AB^2 + BC^2

(13)^2 = (AB)^2 + (12)^2

169 = (AB)^2 + 144

169 – 144 = (AB)^2

(AB)^2 = 25

AB = 5

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (आधार × ऊँचाई)/2

= (12 × 5)/2

= 6 × 5

उत्तर:- 30 वर्ग सेंटीमीटर।

प्रश्न 38. 280 मीटर के बराबर व्यास के वृत्तीय क्षेत्रफल के चारों ओर एक 7 मीटर चौड़े बगीचे के निर्माण की लागत क्या होगी यदि बगीचे के निर्माण के लिए प्रति वर्ग मीटर लागत 21 रूपए हैं?

उत्तर:- 1,32,594

आशा है HTIPS कि यह पोस्ट क्षेत्रमिति (Mensuration) आपको पसंद आएगी और इस पोस्ट को पढ़कर आप क्षेत्रमिति के प्रश्न हल करना सीख पाएंगे।

क्षेत्रमिति की इस पोस्ट से सम्बंधित किसी भी प्रश्न के लिए Comments करें।

क्षेत्रमिति (Mensuration) के सूत्र, उदाहरण और प्रश्न उत्तर
Rate जरूर करें

“क्षेत्रमिति (Mensuration) के सूत्र, उदाहरण और प्रश्न उत्तर” पर 2 विचार

प्रातिक्रिया दे

You have to agree to the comment policy.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.