त्रिकोणमिति के सूत्र, परिभाषा और उदाहरण

पिछली पोस्ट में हम गणित के महत्वपूर्ण अध्याय रेलगाड़ी से सम्बंधित  चीजो को पड़ चुके है। इस पेज पर हम गणित के सबसे महत्वपूर्ण अध्याय त्रिकोणमिति को विस्तार से पड़ेगे।

जिस पड़कर आप सभी परीक्षाओ में त्रिकोणमिति के सवालों को हल कर पाएंगे।

त्रिकोणमिति क्या है?

त्रिकोणमिति (Trigonometry) में एक त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन किया जाता है। त्रिकोणमिति शब्द अंग्रेजी के शब्द ‘Trigonometry’ तीन ग्रीक शब्दों से मिलकर बना है। ये शब्द हैं: ‘Tri + Gon + Metron’.

  • इनमें ‘Tri’ का अर्थ है ‘तीन’
  • ‘Gon’ का अर्थ है ‘भुजा’ तथा
  • ‘Metron’ का अर्थ होता है ‘माप’

अर्थात अंग्रेजी शब्द ‘Trigonometry’ का पूर्ण अर्थ है, ‘एक त्रिभुज के तीनों भुजाओं की माप’ होता है।

समकोण त्रिभुज (Right Angle Triangle)

  • त्रिभुज जिसमें एक कोण 90o हो उसे समकोण त्रिभुज कहा जाता है।
  • एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण तथा दो न्यून कोण (90o के कम) होते हैं।

कर्ण (Hypotenuse)

  •  समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने की भुजा को कर्ण कहा जाता है।
  •  कर्ण  समकोण त्रिभुज की सबसे लम्बी भुजा होती है।
  •  कर्ण की लम्बाई शेष दोनों भुजाओं की लम्बाई के योग से कम होती है।
  •  कर्ण को प्राय: अंग्रेजी के अक्षर “h” से दिखलाया जाता है।

आधार (Base)

  •  समकोण त्रिभुज में एक न्यूनकोण की संलग्न भुजा को आधार कहा जाता हैं, आधार जैसा कि शब्द के अर्थ से ही स्पष्ट है, एक समकोण त्रिभुज में कर्ण को छोड़कर नीचे वाली भुजा जो आधार का कार्य करती है आधार कहलाती है।
  •  आधार को प्राय: अंग्रेजी के अक्षर “b” से निरूपित किया जाता है।

लम्ब (Perpendicular)

  •  समकोण त्रिभुज में किसी न्यूनकोण के सम्मुख की भुजा को लम्ब कहा जाता है।
  •  लम्ब को ऊँचाई भी कहा जाता है। लम्ब को प्राय: अंग्रेजी के अक्षर “p” से निरूपित किया जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच सम्बन्ध को दर्शाता है।   पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, समकोण त्रिभुज में,

(कर्ण) 2 = (लम्ब) 2 + (आधार) 2
⇒ h2 = p2 + b2
जहाँ, h = कर्ण(Hypotenuse), p = लम्ब (perpendicular) तथा b = आधार (base)

त्रिकोणमितीय अनुपात

त्रिकोणमितीय अनुपात 6 प्रकार के होते हैं, जिन्हें निम्न प्रकार से परिभाषित किया जा सकता हैं।

  • sinA = लम्ब/कर्ण
  • cosA =  आधार/कर्ण
  • tanA = लम्ब/आधार
  • cosecA = कर्ण/लम्ब
  • secA = कर्ण/आधार
  • cotA = आधार/लम्ब

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

sin^2 A + cos^2 A  = 1
1 + tan^2 A =  sec^2 A
1 + cot^2 A = cosec^2 A

नीचे हम इन सर्वसमिकाओ को हल करेंगे।

sin^2 A + cos^2 A  = 1

माना कि,
ABC एक समकोण त्रिभुज हैं, जिसमें त्रिभुज CAB = A, तब पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब^2) + (आधार^2) = (कर्ण^2)
(BC)^2 + (AB)^2 = (AC)^2 ……………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में (AC)^2 से भाग देने पर,
(BC)^2 /  (AC)^2  + (AB)^2 /  (AC)^2 = (AC)^2 /  (AC)^2
= (BC/AC)^2 + (AB/AC)^2 = (AC/AC)^2
(Sin A = BC/AC) , (Cos A = AB/AC)
sin^2A + cos^2A = 1 Prooved.

1 + tan^2 A = sec^2 A

माना कि,
ABC एक समकोण त्रिभुज हैं, जिसमें त्रिभुज CAB = A, तब पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब^2) + (आधार^2) = (कर्ण^2)
(BC)^2 + (AB)^2 = (AC)^2 ……………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में (AB)^2 से भाग देने पर,
(BC)^2 /  (AB)^2  + (AB)^2 /  (AB)^2 = (AC)^2 /  (AB)^2
= (BC/AB)^2 + (AB/AB)^2 = (AC/AB)^2
1 + (tan^2)A = (sec^2)A Prooved.

1 + (cot^2) = (cosec^2)A

माना कि,
कि ABC एक समकोण त्रिभुज हैं, जिसमें त्रिभुज CAB = A, तब पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब^2) + (आधार^2) = (कर्ण^2)
(BC)^2 + (AB)^2 = (AC)^2 ……………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों में (BC)^2 से भाग देने पर,
(BC)^2 /  (BC)^2  + (AB)^2 /  (BC)^2 = (AC)^2 /  (BC)^2
= (BC/BC)^2 + (AB/BC)^2 = (AC/BC)^2
= cot^2 A + 1 = cosec^2 A
1 + (cot^2) = (cosec^2)A Prooved.

पूरक कोणों में त्रिकोणमितीय अनुपात

sin(90° – A) = cos A
cos(90° – A) = sin A
tan(90° – A) = cot A
cosec(90° – A) = sec A
sec(90° – A) = cosec A
cot(90 – A) = tan A

त्रिकोणमिति के प्रश्न उत्तर

प्रश्न 1. यदि sin A = 5/13 हो तो cosA का मान ज्ञात कीजिए?

हल:
sin A = 5/13
(Sin^2)A + (cos^2)A = 1
(cos^2)A = 1 – (5/13)^2
(cos^2)A = 1 – (25/169)
(cos^2)A = (169 – 25)/169
(cos^2)A = 144/169
cosA = √144/169
cosA = 12/13

प्रश्न 2. यदि sec A = 5/3 हो तो tanA का मान ज्ञात कीजिए?

उत्तर: 4/3

प्रश्न 3. यदि sinA = 3/5 हो तो cotA का मान ज्ञात कीजिए?

उत्तर: 4/3

प्रश्न 4. 120° को रेडियन में व्यक्त कीजिए?

हल:
180° = π रेडियन
1° = π/180° रेडियन
120° = (π × 120°)/180°
= 2π/3 रेडियन
उत्तर: 2π/3 रेडियन

प्रश्न 5. 3π/2 रेडियन को अंश में व्यक्त कीजिए?

हल:
π रेडियन = 180″°
1 रेडियन = 180°/π
3π/2 रेडियन = (180°π × 3π)/(π × 2)
= 90° × 3
= 270°
उत्तर:- 270°

प्रश्न 6. सिद्ध कीजिए कि sinA/(1 + cos A) + (1 + cosA)/sinA = 2 cosecA

हल:
बायाँ पक्ष = sinA/(1 + cos A) + (1 + cosA)/sinA
= sin^2 A + (1 + cos^2 A)^2 / sin A (1 + cos A)
= (sin^2 A + 1 + 2cos A + cos^2 A) / sin A (1 + cos A)
= (1 + 1 + 2 cosA) / sinA(1 + cosA)
= (2 + 2 cosA)/sinA(1 + cosA)
= 2(1 + cosA)/sinA(1 + cosA)
= 2/sinA
= 2cosecA (दायाँ पक्ष)

प्रश्न 7. सिद्ध कीजिए कि √(1 – sin A)/(1 + sin A) = sec A – tan A

हल:
करणी चिन्ह के अंदर के अंश और हर में 1 – sin A का गुणा करने पर
बायाँ पक्ष = √(1 – sin A)/(1 + sin A)
= √(1 – sin A) × (1 – sin A)/(1 + sin A) × (1 – sin A)
= √(1 – sin A)^2 / (1 – sin^2 A)
= 1 – sin A / √cos^2 A
= (1 – sin A)/cos A
= 1/coa A – sin A/cos A
= sec A – tan A (दायाँ पक्ष)

प्रश्न 8. (tan A + sec A – 1)/(tan A – sec A + 1) = (1 + sin A)/cos A = sec A + tan A

हल:
बायाँ पक्ष = (tan A + sec A – 1)/(tan A – sec A + 1)
= (tan A + sec A – 1) × (sec A + tan A) / (tan A – sec A + 1) × (sec A + tan A)
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / (tan A – sec A) × (sec A + tan A) × (sec A + tan A)
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / (tan^2 A – sec^2 A) + sec A + tan A
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / -1 + sec A + tan A [ sec^2 A = 1 + tan^2 A]
= (tan A + sec A – 1)(sec A + tan A) / (tan A + sec A – 1)
= sec A + tan A
= 1/cos A + sin A/cos A
= (1 + sin A)/cos A (दायाँ पक्ष)

प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए कि (sin A + cos A)(tan A + cot A) = sec A + cosec A

हल:
बायाँ पक्ष = (sinA + cosA)(tanA + cotA)
= (sinA + cosA) (sinA/cosA + cosA/sinA)
= (sinA + cosA)(sin^2 A + cos^2 A)/cos A sin A
= sin A/(sin A cos A) + cos A/(sin A cos A)
= 1/cos A + 1/sin A
= sec A + cosec A (दायाँ पक्ष)

प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि 2 sin^2 A + cos^4 A = 1 + sin^4 A

हल:
बायाँ पक्ष = 2 sin^2 A + cos^4 A
= 2 sin^2 A + (1 – sin^2 A)^2
= 2 sin^2 A + 1 + sin^4 A – 2 sin^2 A
= 1 + sin^4 A (दायाँ पक्ष)

प्रश्न 11. यदि 53 cos A = 45 हो, तो sin A और cot A का मान ज्ञात कीजिए?

उत्तर: 45/28

प्रश्न 12. यदि tan A = 2x(x + 1)/(2x + 1) हो, तो sin A तथा cos A के मान ज्ञात कीजिए?

उत्तर: sin A = 2x(x + 1)/(2x^2 + 2x +1)

cos A = (2x + 1)/(2x^2 + 2x + 1)

प्रश्न 13. यदि 8 sin A = 4 +cos A हो, तो sin A का मान ज्ञात कीजिए?

उत्तर: 5/13 , 3/5

प्रश्न 14. यदि cos A = 9/41 हो, तो tan A का मान ज्ञात कीजिए?

उत्तर: 40/9

प्रश्न 15. यदि sin A = (x^2 – y^2)/(x^2 + y^2) हो तो cos A का मान बताइए?

उत्तर: 2xy / x^2 + y^2

प्रश्न 16. Sin60° tan30° cos45° का मान ज्ञात कीजिए?

हल:
Sin60° का मान = √3/2
tan30° का मान = 1/√3
cos45° का मान = 1/√2
= Sin60° tan30° cos45°
= √3/2 × 1/√3 × 1/√2
= 1/2√2
उत्तर: 1/2√2

आशा है HTIPS की यह Post त्रिकोणमिति आपको पसंद आयी होगी और इस पोस्ट को पड़कर आप त्रिकोणमिति के सभी सवालो को हल करना सीख पाएंगे।

7 thoughts on “त्रिकोणमिति के सूत्र, परिभाषा और उदाहरण

  1. aap ke is article ki help se sabhi math ke students ko bahut help milegi aap ke likhne ka trika bhi bahut hi acha hai and aap ke blog pe aur bhi bahut hi ache articels hai

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