इस पेज पर आप गणित के महत्वपूर्ण अध्याय घातांक एवं करणी की परिभाषा एवं महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर को हल सहित पड़ेंगे।
जो परीक्षा की द्रष्टि से जरूरी हैं घातांक एवं करणी से परीक्षा में प्रश्न पूछे जाते हैं तो आप से बनने चाहिए तो इस पेज घातांक करणी से संबंधित प्रश्नों को हल करना सीखिए।
घातांक (Indices)
यदि n एक घन पूर्णाक तथा a कोई वास्तविक संख्या हो, तो
a^n = a × a × a × a × a × ……….× a (n बार)
a^n को a का n वा घात कहाँ जाता हैं वास्तविक संख्या a को आधार तथा n को a के n वें घात का घातांक कहाँ जाता हैं।
घातांक के नियम
a^m × a^n = a^m + n
a^m/a^n = a^m – n
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
a° = a^m – m = a^m/a^m = 1 (जिस संख्या की घाट शून्य हो उसका मान 1 होता हैं)
1/a⁻ⁿ = aⁿ
जैसे:- 1/5-² = 5² (घातांक वाली संख्या को ऊपर या नीचे बदलने पर उसकी घात के चिन्ह (-, +) बदल जाते हैं।)
[a/b]ⁿ = aⁿ/bⁿ
a^m + a^n + a^k = a^(m + n + k)
जैसे:-
2¹ × 2² × 2³
2⁽¹⁺²⁺³⁾
2⁶
करणी (Surds)
जिस संख्या का मूल पूर्णतः ज्ञात नहीं किया जा सके, ऐसी संख्या के मूल को करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या (Irrational Quantity) कहलाते हैं।
जैसे:- √2, √3, ∛4 आदि करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या है।
करणी के प्रकार (Types of Surds)
1. शुध्द करणी (Pure Surds):- ऐसी करणी जिसका परिमेय गुणनखण्ड 1 हो, शुध्द करणी कहलाती है।
2. मिश्र करणी (Mixed Surds):- ऐसी करणी जिसका एक गुणनखण्ड 1 के अतिरिक्त कोई अन्य परिमेय संख्या हो, मिश्र करणी कहलाती है।
3. समरूप अथवा सजातीय करणी (Similar or Like Surds):- जिन करणियों के अपरिमेय गुणनखण्ड समान होते हैं, समरूप या सजातीय करणियाँ कहलाती हैं।
4. संयुग्मी करणी (Conjugate Surds):- द्विपद वाली ऐसी दो करणियाँ जिनके दोनों पद समान हो, परन्तु दोनों करणियों में दोनों पदों के बीच केवल ‘+’ और ‘-’ चिन्ह का अन्तर हो, संयुग्मी करणी कहलाती है।
जैसे:- (2 + √3) की संयुग्मी करणी (2 – √3) होगी।
करणियों का जोड़, घटाव, गुणनफल तथा भाजन
करणियों का जोड़, घटाव गुणन और भाजन केवल समान घात (समरूप) वाली करणियों किया जाता है यदि करणियाँ समान घात में न हो, तो सबसे पहले उन्हें समान घात में बनाया जाता है, फिर उनका जोड़, घटाव, गुणन या भाजन किया जाता है |
उदाहरण:
1. समान करणियों का जोड़
= √3 + 2√3 + 4√3
= √3 (1 + 2 + 4)
= 7√3
2. समान करणियों का घटाव
= 8√3 – 4√3
= √3(8 – 4)
= 4√3
3. समान करणियों का गुणन
= 4√3 × 2√3
= 4 × 2 × (√3)²
= 8 × 3
= 24
4. समान करणियों का भाजन
= 8√3 ÷ 4√3
= √3 (8 ÷ 4)
= √3 × 2
= 2√3
घातांक एंव करणी से संबंधित प्रश्न उत्तर
Q.1 (2.4 + 10³) ÷ (8 × 10⁻²) = ?
A. 10
B. 2 × 10³
C. 3 × 10⁴
D. 40
हल:- प्रश्ननानुसार,
(2.4 + 10³) ÷ (8 × 10⁻²) = ?
(2.4 + 10³)/(8 × 10⁻²) = ?
0.3 × 10⁽³⁺²⁾
0.3 × 10⁵
3 × 10⁴
Ans. 3 × 10⁴
Q.2 4√(625)³ का मान निकालिए
A. 25
B. 50
C. 125
D. 200
हल:- प्रश्ननानुसार,
4√(625)³
(625)³⁄₄
5^(4×3/4)
5³
125
Ans. 125
Q.3 (√8)⅓
A. 2
B. √2
C. 4
D. 2√2
हल:- प्रश्ननानुसार,
(√8)⅓
(8½)⅓
8(½×⅓)
8¹⁄₆
(2³)¹⁄₆
2^(3×¹⁄₆)
2½
√2
Ans. √2
Q.4 (32)⁻⅕ बराबर हैं?
A. ⅕
B. ½
C. ⅔
D. ⅖
हल:- (32)⁻⅕
(¹⁄₃₂)⅕
[(½)⁵]⅕
(½)^(5×⅕)
½
Ans. ½
Q.5 (⁻¹⁄¹²⁵)⁻⅔ का मान होगा?
A. ¹⁄₂₅
B. ⁻¹⁄₂₅
C. 25
D. -25
हल:- प्रश्ननानुसार,
(⁻¹⁄₂₂₅)⁻⅔
-(-125)⅔
[(-5)^3]⅔
(-5)^(3×⅔)
(-5)²
25
Ans. 25
Q.6 ∛(64)⁻⁴ × (125)⁻² का मान होगा?
A. 6400
B. 1/6400
C. 1/3200
D. 3200
हल:- प्रश्ननानुसार,
∛(64)⁻⁴ × (125)⁻²
(64)⁴⁄₃ × 125⁻⅔
4⁻⁴ × 5⁻²
¹⁄₂₅₅ × ¹⁄₂₅
¹⁄₆₄₀₀
Ans. ¹⁄₆₄₀₀
Q.7 व्यंजक [(√5)⁵ × (√5)⁻³/(√5)⁻²]³⁄₂ का मान हैं?
A. 5²
B. 5³
C. √5
D. 25
हल:- प्रश्ननानुसार,
[(√5)⁵ × (√5)⁻³/(√5)⁻²]³⁄₂
[(5⁵⁄₂ × 5⁻³⁄₂)/5⁻¹]³⁄₂
(5²)³⁄₂
5³
Ans. 5³
Q.8 2⁻² + -2² बराबर हैं?
A. 0
B. 1/2
C. 1/4
D. 1
हल:- प्रश्ननानुसार,
2⁻² + -2²
[1/(2⁻²)] + -2²
¹⁄₄ + 4
¹⁷⁄₄
Ans. ¹⁷⁄₄
Q.9 (8)⁻²⁵ – (8)⁻²⁶ का मान हैं?
A. 7 × 8⁻²⁵
B. 7 × 8⁻²⁶
C. 9 × 8²⁶
D. 9 × 8²⁵
हल:- प्रश्ननानुसार,
(8)⁻²⁵- (8)⁻²⁶
(8)²⁵(1 – 8⁻¹)
(8)²⁵(1 – ⅛)
(8)²⁵ × ⅞
7 × 8⁻²⁶
Ans. 7 × 8⁻²⁶
Q.10 (64)-¼ × (16)¼ का मान हैं?
A. 1/2√2
B. 2√2
C. 1/√2
D. √2
हल:- प्रश्ननानुसार,
(64)-¼ × (16)¼
[1/(64)¼] × (16)¼
1/2√2 × 2
1/√2
Ans. 1/√2
Q.11 a⁻⁵ × a⁻⁴ × a⁻³ a⁻² × a⁵ × a⁶ × a⁷ बराबर हैं?
A. a²
B. a³
C. a⁴
D. a⁵
हल:- प्रश्ननानुसार,
a⁻⁵ × a⁻⁴ × a⁻³ a⁻² × a⁵ × a⁶ × a⁷
a⁽⁻⁵⁻⁴⁻³⁻²⁺⁵⁺⁶⁺⁷⁾
a⁽⁻¹⁴⁺¹⁸⁾
a⁴
Ans. a⁴
Q.12 (1296)⁰⋅⁷⁵ × (36)⁻¹ का मान हैं?
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
हल:- प्रश्ननानुसार,
(1296)³⁄₄ × ¹⁄₃₆
(6⁴)³⁄₄ × (⅙)²
6³ × (⅙)²
6
Ans. 6
Q.13 2^x × 4^(3x+4) बराबर हैं?
A. 2^(7x + 8)
B. 4x
C. 8x + 6
D. 8x
हल:- प्रश्ननानुसार,
2^x × 4^(3x+4)
2^x × 2(6x+8)
2^(7x+8)
Ans. 2^(7x+8)
Q.14 यदि (2^m)^m = 512, तो m बराबर हैं?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
हल:- प्रश्ननानुसार,
(2^m)^m = 512
2^m^2 = 2^9
m = √9
3
Ans. 3
Q.15 माना m तथा n दो पूर्ण संख्याएँ हैं यदि m^n = 25 हैं, तो n^m का मान हैं?
A. 16
B. 32
C. 48
D. 56
हल:- प्रश्ननानुसार,
mⁿ = 25 = 5²
nⁿ = 2⁵ = 32
Ans. 32
Q.16 यदि 2^x × 8^1/5 = 2^1/5 हो, तो x का मान क्या हैं?
A. -2/5
B. 2
C. -5/7
D. 0
हल:- प्रश्ननानुसार,
2^x × 8⅕ = 2⅕
2^x × 2⅗ = 2⅕
x + ⅗ = ⅕
x = ⅕ – ⅗
x = -⅖
Ans. -2/5
Q.17 यदि 4^2x = 256 हो तो x = ?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 10
हल:- प्रश्ननानुसार,
4^2x = 256
4^2x = 4^4
2x = 4
x = 2
Ans. 2
Q.18 यदि 125^x = 3125 हो तो x का मान हैं?
A. 25
B. 5/3
C. 3/5
D. 1/4
हल:- प्रश्ननानुसार,
125^x = 3125
(5^3)^x = 5^5
5^3x = 5
3x = 5
x = 5/3
Ans. 5/3
Q.19 यदि √2ⁿ = 64 हो तो n का मान हैं?
A. 2
B. 6
C. 4
D. 12
हल:- प्रश्ननानुसार,
√2ⁿ = 64
2ⁿ⁄₂ = 2⁶
ⁿ⁄₂ = 6
n = 6 × 2
n = 12
Ans. 12
Q.20 √2, 3√3 तथा 4√4 में से सबसे बड़ी संख्या कौन सी हैं?
A. √2
B. 3√3
C. 4√4
D. 6√3
हल:- प्रश्ननानुसार,
ये कर्णियां क्रमशः घात 2, 3, एवं 4 की हैं इनका ल. स. = 12
√2 = 2½
= 2⁽½×⁶⁄₆⁾
= 2⁶⁄₁₂
= (2⁶)¹⁄₁₂
= √2 = 12√64
3√3 = 3⅓
= 3(⅓×⁴⁄₄)
= 3⁴⁄₁₂
= (3⁴)¹²
3√3 = 12√81
4√4 = 4¼
= 4(1/4׳⁄₃)
= 4³⁄₁₂
= (4³)¹²
= 12√64
अतः 12√81यानि 3√3 सबसे बड़ा हैं।
Ans. 3√3
| जरूर पढ़े : | ||
| चक्रवृद्वि व्याज | साधारण व्याज | लाभ हानि |
| प्रतिशत | संख्या पद्धति | लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक |
इस पेज पर आपने गणित के महत्वपूर्ण अध्याय घातांक एवं करणी की परिभाषा और उनके प्रश्नों को हल करना सीखा जो सरकारी परीक्षा के लिए बहुत ही जरूरी हैं क्योंकि वर्गमूल एवं घनमूल से गवर्मेन्ट परिक्षा में एक या दो प्रश्न पूछ ही लिए जाते हैं।
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