इस पेज पर आप गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय त्रिभुज की जानकारी विस्तार से पड़ेगें तो पोस्ट को पूरा जरूर पढ़िए तभी आप त्रिभुज को समझ पाएगें।
पिछले पेज पर हमने द्विविमीय आकृति और त्रिविमीय आकृति की पोस्ट शेयर की हैं वो पोस्ट पढ़कर आकृतियों को बनाना सीखें।
चलिए इस पेज पर त्रिभुज की जानकारी पढ़ते एवं समझते हैं।
त्रिभुज किसे कहते हैं
तीन भुजाओ से निर्मित बंद आकृति को त्रिभुज कहते है।
त्रिभुज में तीन भुजाएं, तीन शीर्ष और तीन कोण होते हैं। त्रिभुज की भुजाओं को AB, BC और CA तथा कोणों को ∠A, ∠B, और ∠C द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
त्रिभुज सबसे कम भुजाओं वाला एक बहुभुज है जिसके तीनों आन्तरिक कोणों का मान 180° होता है।
त्रिभुज के संकेत
- A, B, और C त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
- बिंदु A, B, और C त्रिभुज के शीर्ष हैं।
- AB, BC और AC त्रिभुज की भुजाएँ हैं।
- “∠” त्रिभुज के कोण हैं।
- ∠A या ∠BAC या ∠CAB
- ∠B या ∠ABC या ∠CBA
- ∠C या ∠ACB या ∠BCA
त्रिभुज के गुण
- त्रिभुज के तीन शीर्ष, तीन भुजाएँ और तीन कोण होते है।
- त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180℃ होता है।
- त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
- त्रिभुज की दो भुजाओं का अंतर तीसरी भुजा से छोटा होता है।
त्रिभुज के सूत्र
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ ac
- समकोण त्रिभुज का परिमाप = (लम्ब + आधार + कर्ण) = (a + b + c)
- समकोण त्रिभुज का कर्ण = √लम्ब² +आधार²
- समकोण त्रिभुज का लम्ब = √कर्ण² – आधार²
- समकोण त्रिभुज का आधार = √कर्ण² – लम्ब²
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × भुजा²
- समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
- शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = √3/4 × भुजा
- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = b¼(4a² – b²)
- समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = a + a + c या 2a + b
- शीर्ष बिंदु A से डाले गए लम्ब की लम्बाई AD = ½(√4a² – b²)
- विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
- विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
- विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
त्रिभुज के प्रकार
कोणों की माप के आधार पर और भुजाओं की माप की माप के आधार पर त्रिभुज के 6 प्रकार होते हैं।
1. माप के आधार
कोणों की माप के आधार पर त्रिभुज के तीन प्रकार होते हैं।
a). न्यूनकोण त्रिभुज
जिस त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान 90 डिग्री से कम होता है उसे न्यूनकोण त्रिभुज कहते हैं।
- क्षेत्रफल A = ½ × b × h
- परिमाप = a + b + c
- क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)
- A = ½ × a × b × sinθ
b). समकोण त्रिभुज
जिस त्रिभुज के किसी एक कोण का मान 90 डिग्री होता है उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ ac
- समकोण त्रिभुज का परिमाप = (लम्ब + आधार + कर्ण) = (a + b + c)
- समकोण त्रिभुज का कर्ण = √लम्ब² +आधार²
- समकोण त्रिभुज का लम्ब = √कर्ण² – आधार²
- समकोण त्रिभुज का आधार = √कर्ण² – लम्ब²
c). अधिक कोण त्रिभुज
जिस त्रिभुज के किसी एक कोण का मान 90 डिग्री से अधिक होता है उसे अधिक कोण त्रिभुज कहते हैं।
- परिमाप = a + b + c
- क्षेत्रफल A = ½ × b × h
- अर्धपरिधि P = ½ ( a + b + c )
- क्षेत्रफल A = √s(s – a)(s – b)(s – c)
- A = ½ × a × b × sinθ
2. भुजाओं की माप के आधार पर
भुजाओं की माप के आधार पर त्रिभुज तीन प्रकार के होते हैं
a). समबाहु त्रिभुज
जिस त्रिभुज की तीनो भुजाओं की लम्बाई बराबर होती है उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं। समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान 60° होता हैं।
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 × भुजा²
- समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा
- शीर्ष बिंदु से डाले गए लम्ब की लम्बाई = √3/4 × भुजा
b). समद्विबाहु त्रिभुज
जिस त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं की लम्बाई बराबर होती है उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं।
- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = b¼(4a² – b²)
- समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = a + a + c या 2a + b
- शीर्ष बिंदु A से डाले गए लम्ब की लम्बाई AD = ½(√4a² – b²)
c). विषमबाहु त्रिभुज
जिस त्रिभुज की तीनो भुजाओं की लम्बाई अलग-अलग होती है उसे विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं।
- विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
- विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप = तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
- विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
त्रिभुज से संबंधित प्रश्न और उत्तर
प्रश्न1. त्रिभुज के तीनो कोणों का योग कितना होता है?
उत्तर:- 180°
प्रश्न2. त्रिभुज के तीनो बाह्य कोणों का योग कितना होता है?
उत्तर:- 360°
प्रश्न3. जिस त्रिभुज की तीनो भुजाओं की लम्बाई एक समान हो उसे कौनसा त्रिभुज कहते हैं?
उत्तर:- समबाहु त्रिभुज
प्रश्न4. समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण कितने डिग्री का होता है?
उत्तर:- 60°
प्रश्न5. यदि किन्ही दो त्रिभुजों के तीनो कोण समान हैं परन्तु भुजाओं की लम्बाई समान नहीं है ऐसे त्रिभुज होते हैं?
उत्तर:- समरूप
प्रश्न6. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात और दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाओं के वर्गों का अनुपात, एक दूसरे के होता है।
उत्तर:- बराबर
प्रश्न7. किसी त्रिभुज के तीन कोण क्रमशः 50°, 60° और 70° हैं यह कोनसा त्रिभुज है?
उत्तर:- न्यूनकोण त्रिभुज
प्रश्न8. किसी त्रिभुज के दो कोण क्रमशः 105° और 40° हैं तो तीसरा कोण कितने डिग्री का होगा?
हल:- प्रश्नानुसार,
किसी त्रिभुज के दो कोणों का योग = 105° + 40°
= 145°
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है
180° – 14535° = 35°
उत्तर:- 35°
प्रश्न9. एक त्रिभुज की भुजाएं क्रमशः 3 सेंटीमीटर, 4 सेंटीमीटर, और 5 सेंटीमीटर हैं इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 6 वर्ग सेंटीमीटर
B. 8 वर्ग सेंटीमीटर
C. 10 वर्ग सेंटीमीटर
D. 12 वर्ग सेंटीमीटर
हल:- प्रश्ननानुसार,
a = 3 सेंटीमीटर
b = 4 सेंटीमीटर
c = 5 सेंटीमीटर
त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग = (a + b + c)/2
s = (3 + 4 + 5)/2
s = 12/2
s = 6
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
∆ = √6(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5)
∆ = √6 × 3 × 2 × 1
∆ = √36
∆ = 6
उत्तर:- 6 वर्ग सेंटीमीटर।
प्रश्न10. किसी त्रिभुज PQR की भुजाएँ 5 सेमी. 12 सेमी. तथा 13 सेमी. हैं त्रिभुज में एक अन्तः वृत्त बनाया गया हैं उस वृत्त का क्षेत्रफल (वर्ग सेमी.) में हैं?
A. 4π
B. 3π/4
C. π
D. 4
हल:- माना,
वृत्त की त्रिज्या r सेमी. हैं
r = √1/15(15 – 5)(15 – 12)(15 – 13)
r = √1/15 × 10 × 3 × 2
r = √2 × 2
r = √4
r = 2 सेमी.
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= π × 2²
= 4π
उत्तर:- 4π
प्रश्न11. किसी त्रिभुज का परिमाप 30 सेंटीमीटर और उसका क्षेत्रफल 30 वर्ग सेंटीमीटर हैं। यदि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा की लम्बाई 13 सेंटीमीटर हैं। तो उसकी सबसे छोटी भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए?
A. 3 सेंटीमीटर
B. 4 सेंटीमीटर
C. 5 सेंटीमीटर
D. 6 सेंटीमीटर
हल:- प्रश्ननानुसार,
माना कि त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x सेंटीमीटर
मध्य की भुजा = 30 – (13 + x)
मध्य की भुजा = 30 – 13 + x
= (17 – x) सेंटीमीटर
S = (a + b + c)/2
S = (17 + x + 17 – x)/2
S = 15 सेंटीमीटर
∆ का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
30 = √15(15 – 13)(15 – x)(15 – 17 + x)
30 =
900 = 30(17x – x² – 30)
x² – 17 + 60 = 0
x² – 12x – 5x + 60 = 0
x(x – 12) – 5(x – 12) = 0
(x – 12)(x – 5) = 0
x = 12
x = 5
अतः सबसे छोटी भुजा 5 होगीं।
उत्तर:- 5 सेंटीमीटर
प्रश्न12. किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल 216 सेंटीमीटर² हैं और उसकी भुजाएँ 3 : 4 : 5 के अनुपात में हैं। इस त्रिभुज का परिमाप हैं?
A. 6 सेंटीमीटर
B. 12 सेंटीमीटर
C. 36 सेंटीमीटर
D. 72 सेंटीमीटर
हल:- प्रश्ननानुसार,
माना त्रिभुज की भुजाएँ 3x, 4x तथा 5x हैं।
(5x)² = (3x)² + (4x)²
त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं तब
½ × 3x × 4x = 216
½ × 12x² = 216
6x² = 216
x² = 216/6
x² = 36
x = 6
त्रिभुज का परिमाप = (3x + 4x + 5x)
= 12x
= 12 × 6
= 72 सेंटीमीटर
उत्तर:- 72 सेंटीमीटर
प्रश्न13. एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल (सेंटीमीटर³ में) हैं?
A. 3 : 1
B. 1 : 3
C. 3 : 2
D. 3 : 4
हल:- प्रश्ननानुसार,
मध्य बिंदुओं को मिलाकर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 : 4
मध्य बिंदुओं को मिलाकर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल
मूल त्रिभुज के शेष भाग का क्षेत्रफल = 1 : 3
उत्तर:- 1 : 3
प्रश्न14. एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 : 4 : 3 के अनुपात में हैं। यदि त्रिभुज की परिमाप 24 सेंटीमीटर हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 12 वर्ग सेंटीमीटर
B. 24 वर्ग सेंटीमीटर
C. 6 वर्ग सेंटीमीटर
D. 47 वर्ग सेंटीमीटर
हल:-
माना त्रिभुज की भुजाएँ = 5x, 4x और 3x
प्रश्ननानुसार,
5x + 4x + 3x = 24
12x = 24
x = 2
भुजाएँ = 5x, 4x और 3x हैं।
5x = 5 × 2 = 10
4x = 4 × 2 = 8
3x = 3 × 2 = 6
S = (a + b + c)/2
S = (10 + 8 + 6)/2
S = 24/2
S = 12 सेंटीमीटर
∆ का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
∆ का क्षेत्रफल = √12(12 – 10)(12 – 8)(12 – 6)
∆ का क्षेत्रफल = √12 × 2 × 4 × 6
∆ का क्षेत्रफल = 24
उत्तर:- 24 वर्ग सेंटीमीटर
प्रश्न15. यदि किसी त्रिभुज का आधार दूना तथा ऊँचाई आधी कर दी जाए तो परिवर्तन से पूर्व तथा बाद के क्षेत्रफलों में क्या अनुपात होगा?
A. 3 : 2
B. 1 : 1
C. 2 : 1
D. 3 : 1
हल:- प्रश्ननानुसार,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
= ½ × x × y
नये त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × 2x × y/2
= ½ xy
अभीष्ट अनुपात = xy/2/(xy/2)
= xy/2 × 2/xy
= 1 : 1
उत्तर:- 1 : 1
उम्मीद हैं आपको त्रिभुज की जानकारी पसंद आयीं होगीं।
त्रिभुज से संबंधित किसी भी प्रश्न के लिए कमेंट करें धन्यवाद।