इस पेज पर आज हम गणित के महत्वपूर्ण अध्याय संख्याओं पर आधारित प्रश्न को समझेंगे और कम समय में हल करना सीखेंगे।
पिछली पोस्ट में हम गणित के अध्याय वर्गमूल और घनमूल की जानकारी शेयर कर चुके है यदि अपने वह नहीं पढ़ी है तो उसे जरूर पढ़े।
चलिए इस पेज पर अब संख्याओं से संबंधित की जानकारी पड़ते है।
संख्याएँ किसे कहते हैं
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 एवं 9 को अंक कहते हैं, इन्हीं अंकों से संख्याएँ बनती हैं।
संख्या को लिखने का तरीका संख्या पद्धति या संख्या प्रणाली कहलाता हैं।
किसी संख्या को लिखने के लिए दो तरह की प्रणाली मुख्यतः प्रचलित हैं।
- दाशमिक प्रणाली
- अंतराष्ट्रीय प्रणाली
1. दाशमिक प्रणाली
दाशमिक प्रणाली को भारतीय अरबी प्रणाली के नाम से भी जाना जाता हैं।
नीचे बनी तालिका देख कर आप स्पष्ट रूप से समझ सकते हैं इसमें दाईं से बाई ओर क्रमशः इकाई, दहाई सैकड़ा, हजार, दस हजार, लाख, दस लाख, करोड़, दस करोड़, अरब, दस अरब आदि लिखकर संख्याओं को उसके नीचे उचित स्थान पर लिखते हैं।
जैसे: पचास अरब, चौबीस करोड़, आठ लाख, पांच हजार, चार सौ सत्तर।
स्थानीय मान को तालिका बनाकर लिखने पर
| दस अरब | अरब | दस करोड़ | करोड़ | दस लाख | लाख | दस हजार | हजार | सैकड़ा | दहाई | इकाई |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 0 | 2 | 4 | 0 | 8 | 0 | 5 | 4 | 7 | 0 |
अतः संख्या अंकों में, 50, 24, 08, 05, 470
2. अंतराष्ट्रीय प्रणाली (International System)
अंतराष्ट्रीय प्रणाली में आप नीचे बनी हुई तालिका को स्पष्ट देखकर समझ सकते हैं इसमें दाईं से बाईं और क्रमशः इकाई, दहाई, सैकड़ा, हजार, दस हजार, सौ हजार, मिलियन, दस मिलियन, सौ मिलियन, बिलियन, दस बिलियन, सौ बिलियन आदि।
जैसे:- सत्तर बिलियन, पाँच सौ पचास मिलियन, सात सौ आठ हजार, छह सौ पचहत्तर
उपर्युक्त उदाहरण को अंतरराष्ट्रीय प्रणाली में लिखने पर
| सौ बिलियन | दस बिलियन | बिलियन | सौ मिलियन | दस मिलियन | मिलियम | सौ हजार | दस हजार | हजार | सैकड़ा | दहाई | इकाई |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 7 | 0 | 5 | 5 | 0 | 7 | 0 | 8 | 6 | 7 | 5 |
अतः संख्या अंकों में, 70, 550, 708, 675
किसी संख्या में अंकों का जातीय मान
कोई भी संख्या जो दो या उससे अधिक अंकों की बनी होती हैं उसमें अंक का अपना मान होता हैं।
जातीय मान (Face Value) : किसी अंक का जातीय मान किसी संख्या में उसके स्थान पर निर्भर नहीं करता हैं उस अंक का जो वास्तविक मान होता हैं उसे ही जातीय मान कहते हैं।
जैसे:- 856854 में 5 का जातीय मान 5 ही हैं चाहे वह दहाई के स्थाना वाला 7 हो या दस हजार के स्थान वाला 5 हो।
स्थानीय मान (Place Value) : किसी अंक का स्थानीय मान किसी संख्या में उसके स्थान पर निर्भर करता हैं।
जैसे:- 7 3 7 5 में 7 का स्थानीय मान = 7 × 10 = 70
हजार के स्थान वाले 7 का स्थानीय मान = 7 × 1000
= 7000
नोट : शून्य (0) का जातीय मान एवं स्थानीय मान हमेशा 0 होता हैं।
संख्याओं पर आधारित प्रश्न और हल
Q.1 संख्या 458926 में 8 का स्थानीय मान क्या हैं?
A. 8
B. 8926
C. 1000
D. 8000
हल:- प्रश्नानुसार,
संख्या 458926 में 8 का स्थानीय मान = 8000
Ans. 8000
Q.2 0.06537 में 5 का स्थानीय मान क्या हैं?
A. 5
B. 5/100
C. 5/1000
D. 65/1000
हल:- प्रश्नानुसार,
0.06537 में 5 का स्थानीय मान
= 0.005
= 5/1000
Ans. 5/1000
Q.3 7682463 में 6 के स्थानीय मूल्यों में क्या अंतर हैं?
A. 699940
B. 599940
C. 682933
D. 599993
हल:- प्रश्नानुसार,
7682463 का स्थानीय मान एवं जातीय मान
6 का स्थानीय मान = 600000
6 का जातीय मान = 60
6 के स्थानीय मूल्यों में अंतर
= 600000 – 60
= 599940
Ans. 599940
Q.4 7765 को किसी संख्या से भाग देने पर भागफल 45 तथा शेष 25 आता हैं भाजक क्या हैं?
A. 165
B. 172
C. 175
D. 180
हल:- प्रश्नानुसार,
सूत्र : भाजक = (भाज्य – शेषफल)/भागफल
= (7765 – 25)/45
= 172
Ans. 172
Q.5 43 × 44 × 45 ……… × 48 में इकाई का अंक क्या होगा?
A. 3
B. 1
C. 2
D. 0
हल:- प्रश्नानुसार,
43 × 44 × 45 × 47 × 48 में इकाई के अंकों का
गुणनफल = 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 20160
इकाई उपस्थित अभीष्ट अंक = 0
Ans. 0
Q.6 यदि किसी संख्या का वर्ग किया जाए, तो इकाई के स्थान पर कौन सा अंक होगा?
A. 7
B. 3
C. 8
D. 5
हल:- प्रश्नानुसार,
यदि किसी संख्या का वर्ग किया जाए, तो इकाई के स्थान पर
0, 1, 4, 5, 6 और 9 हो सकता हैं।
Ans. 5
Q.7 1/4 तथा 1/3 के मध्य एक परिमेय संख्या हैं?
A. 7/24
B. 7/12
C. 1/12
D. 2/15
हल:- प्रश्नानुसार,
1/2 (1/4 + 1/3)
1/2 × (3 + 4)/12
1/2 × 7/12
7/24
Ans. 7/24
Q.8 50 और 100 के बीच अभाज्य संख्याओं की संख्या हैं?
A. 8
B. 9
C. 11
D. 10
हल:- प्रश्नानुसार,
50 और 100 के बीच अभाज्य संख्या
53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89 और 97 हैं।
कुल संख्या = 9
Ans. 9
Q.9 42² – 38² = 4k दिया हो, तो K का मान होगा?
A. 4
B. 16
C. 80
D. 96
हल:- प्रश्नानुसार,
4k = 42² – 38²
4k = (42 + 38) (42 – 38)
4k = 80 × 4
k = (80 × 4)/4
k = 80
Ans. 80
Q.10 अगर (a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b = k हो, तो k का मान क्या हैं?
A. 0
B. 1
C. 2
D. a + b + c
हल:- प्रश्नानुसार,
(a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b = k
a + b = kc
b + c = ka तथा
a + c = kb
2 (a + b + c) = k (a + b + c)
K = 2
Ans. 2
Q.11 यदि a/3 = b/4 = c/7 हो, तो (a + b + c)/c का मान हैं?
A. √2
B. 2
C. 7
D. 1/√7
हल:- माना,
a/3 = b/4 = c/7 = k
a = 3k, b = 4k, c = 7k
(a + b + c)/c
(3k + 4k + 7k)/7k
14k/7k
2
Ans. 2
Q.12 यदि (2a + b)/(a + 4b) = 3 हैं, तो (a + b)/(a + 2b) का मान हैं?
A. 5/9
B. 2/7
C. 10/9
D. 10/7
हल:- प्रश्नानुसार,
(2a + b)/(a + 4b) = 3
2a + b = 3a + 12b
a/b = -11
(a + b)/(a + 2b) = (a/b + 1)/(a/b + 2)
= (-11 + 1)/(-11 + 2)
= -10/-9
= 10/9
Ans. 10/9
Q.13 यदि (x + 1) का व्युत्क्रम (x – 1) हैं तो x का मान हैं (x ≠ 1) –
A. √2
B. 3
C. 1√3
D. x + 2
हल:- प्रश्नानुसार,
x + 1 = 1/x – 1
x² – 1 = 1
x² = 1 + 1
x² = 2
x = √2
Ans. √2
Q.14 संख्या 5k3457 में k का मान क्या होगा जबकि संख्या 11 से पूर्णतया हो जाए?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
हल:- प्रश्नानुसार,
5 + 3 + 5 = k + 4 + 7
13 = k + 11
k = 13 – 11
k = 2
वह संख्या 11 से पूर्णतया विभाजित होती हैं जिसके सम स्थान के अंको का योग विषम स्थान के अंकों के योग के बराबर या उनका अंतर 11 से विभाजित हो।
Ans. 2
Q.15 100 और 1000 के बीच की किसी संख्या में से उसके अंकों का योगफल घटा देने से प्राप्त संख्या सदैव विभाजित होंगी?
A. 3 से
B. 6 से
C. 5 से
D. 12 से
हल:- प्रश्नानुसार,
100 और 1000 के बीच संख्या
= 100x + 10y + z
[जहाँ 0 ≤ x, y, z ≤ 9]
(100x + 10y + z) – (x + y + z)
= 99x + 9y
= 9 (11x + y)
= 9 का गुणज
अतः संख्या 9 का गुणज हैं जोकि 3 का भी गुणज होगा।
Ans. 3
Q.16 यदि x और y किसी संख्या 653 xy का दो अंक हो और वह संख्या 80 से भाज्य हो, तो (x + y) का मान क्या होगा?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
हल:- प्रश्नानुसार,
चूंकि संख्या 653 xy, 80 से भाज्य हैं।
अतः यह संख्या 8 और 10 दोनों से भाज्य होगी।
653 xy को 10 से भाज्य होने के लिए y के स्थान पर शून्य होना चाहिए।
और 8 से भाज्य होने के लिए शेष अंतिम तीन अंक 8 से भाज्य होना चाहिए।
अतः संख्या 65360 होगी
जहाँ x = 6 और y = 0
x + y = 6 + 0
= 6
Ans. 6
Q.17 200 और 600 के बीच कितनी संख्याएँ हैं जो 4, 5 और 6 से पूर्णतः भाज्य हैं?
A. 5
B. 8
C. 6
D. 9
हल:- प्रश्नानुसार,
4, 5 और 6 का ल. संख्या = 60
200 से अधिक वह छोटी संख्या जो 60 से विभाज्य हो – 240
200 तथा 600 के बीच बड़ी से बड़ी संख्या जो 60 से विभाज्य हो = 540
माना,
अभीष्ट संख्या = n
540 = 240 + (n – 1) 60
540 = 240 + (n – 1) 60
(n – 1) = (540 – 240)/60
(n – 1) = 300/60
(n – 1) = 5
n = 5 + 1
n = 6
Ans. 6
Q.18 किन्हीं तीन सतत प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को पूरा – पूरा विभाजित करने वाली बड़ी से बड़ी संख्या हैं?
A. 8
B. 6
C. 12
D. 16
हल:- प्रश्नानुसार,
तीन क्रमागत प्राकृत संख्या = 1, 2, 3
1 × 2 × 3 = 6
अर्थात वैसी सभी संख्या 6 से विभाजित होंगे।
Ans. 6
Q.19 यदि (x + 1) : 8 = 3.75 : 7, हो तो x का मान हैं?
A. 25/9
B. 23/7
C. 18/4
D. 19/5
हल:- प्रश्नानुसार,
(x + 1)/8 = 3.75/7
7(x + 1) = 3.75 × 8
(x + 1) = (3.75 × 8)/7
(x + 1) = 30/7
x = 30/7 – 1
x = (30 – 7)/7
x = 23/7
Ans. 23/7
Q.20 यदि a : (b + c) = 1 : 3 और c : (a + b) = 5 : 7 हो, तो b : (c + a) बराबर होगा?
A. 1/2
B. 2/3
C. 5/2
D. 2/1
हल:- प्रश्नानुसार,
a/b + c = 1/3 या a = b + c/3
तथा c/a + b = 5/7
7c = 5a + 5b
7c = 5 × b + c/3 + 5b
21c = 5b + 5c + 15b
c = 20b/16
c = 5b/4
b/c + a = b/(5b/4 + 3b)/4
= b/(5b + 3b)/4
= b/(8b/4)
= b/2b
= 1/2
Ans. 1/2
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