SQUARE root and cube root

वर्गमूल एवं घनमूल की परिभाषा, सूत्र और उदहारण

Last Updated on May 31st, 2020 by Bhupendra Singh

इस पेज पर आप गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय वर्गमूल एवं घनमूल की को विस्तार से पड़कर समझेंगे।

पिछले पेज पर हम गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय त्रिकोणमिति की समस्त जानकारी शेयर कर चुके है उसे अवश्य पढ़े।

चलिए वर्गमूल और घनमूल की समस्त जानकारी को पढ़ना शुरू करते है।

वर्गमूल की परिभाषा

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती हैं जिसे परस्पर दो बार गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती हैं। इसे (√) चिन्ह से दर्शाते हैं।

जैसे:

25 का वर्गमूल = √25 = 5
49 का वर्गमूल = √49 = 7
81 का वर्गमूल = √81 = 9

वर्गमूल निकालने का तरीका

(A). गुणनखण्ड विधि

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्डों के प्रत्येक जोड़े में से एक लेकर इनका गुणनफल ही संख्या का वर्गमूल होगा।

जैसे:- 625 का वर्गमूल ज्ञात?

हल:- 625 = 5 × 5 × 5 × 5
625 =5^2 × 5^2
√625 = 5 × 5
√625 = 25

(B) भाग विधि

इस विधि में संख्या में दाईं ओर से दो-दो अंकों का जोड़ा बनाकर वर्गमूल मालूम करते हैं।

जैसे:- 50625 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए?

हल:- √50625 = 225

वर्गमूल एवं घनमूल

नोट:- यदि किसी संख्या में इकाई के स्थान पर 2, 3, 7 या 8 हो तो उस संख्या का वर्गमूल पूरा-पूरा नहीं निकलेगा।

वर्गमूल निकालने के लिए महत्वपूर्ण बिन्दु

  • दाई ओर से दो अंको का जोड़ा बनाये और शेष बचे सभी अंको का एक जोड़ा बनाये।
  • संख्या में दिया इकाई किसी संख्या का वर्गमूल करने पर प्राप्त होगी यह पता लगाएं और उसे उत्तर में सबसे अंत में लिखे।
  • शेष अंको के जोड़े से बनी हुई संख्या के सबसे नजदीक आने वाली ऐसी संख्या जिस संख्या का वर्ग हो उसे उत्तर में बाई ओर लिखे।
  • यदि ऐसी स्थिति में दो संख्या प्राप्त हो तो उनके बीच इकाई अंक 5 वाली संख्या का वर्ग करके दी गई संख्या से तुलना करें, तुलना करने पर दी गई संख्या छोटी संख्या हैं, तो उत्तर छोटा होगा और दी गई संख्या तुलना करने पर बड़ी संख्या प्राप्त हो तो उत्तर बड़ा होगा।

1 से लेकर 10 तक कि संख्याओं का वर्ग

1
4
9
16
25
36
49
64
81
10²100

संख्याओं का वर्गमूल

√11
√42
√93
√164
√255
√366
√497
√64 8
√819
√10010
√12111
√14412
√16913
√19614
√22515
√25616
√28917
√32418
√36119
√40020
√44121
√48422
√52923
√57624
√62525
√67626
√72927
√78428
√84129
√90030
√96131
√102432
√108933
√115634
√122535
√129636
√136937
√144438
√152139
√160040
√168141
√176442
√184943
√193644
√202545
√211646
√220947
√230448
√240149
√250050
√260151
√270452
√280953
√291654
√302555
√313656
√324957
√336458
√348159
√360060
√3,72161
√3,84462
√3,96963
√4,09664
√4,22565
√4,35666
√4,48967
√4,62468
√4,76169
√4,90070
√5,04171
√5,18472
√5,32973
√5,47674
√5,62575
√5,77676
√5,92977
√6,08478
√6,24179
√6,40080
√6,56181
√6,72482
√6,88983
√7,05684
√7,22585
√7,39686
√7,56987
√7,74488
√7,92189
√8,10090
√8,28191
√8,46492
√8,64993
√8,83694
√9,02595
√9,21696
√9,40997
√9,60498
√9,80199
√10,000100

1 से लेकर 15 तक कि संख्याओं का वर्गमूल

√11
√21.41421…
√31.73205…
√42
√52.23606…
√62.449…
√72.646…
√82.828…
√93
√103.162…
√113.317…
√123.464…
√133.606…
√143.714…
√153.873…

संख्याओं का वर्गमूल (दशमलव में)

√.10.32
√.20.45
√.30.55
√.40.63
√.50.71
√.60.77
√.70.84
√.80.89
√.90.95
√.100.32

घनमूल की परिभाषा

किसी संख्या का घनमूल वह संख्या हैं, जिसे परस्पर तीन बार गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती हैं। इसे (∛) चिन्ह से दर्शाते हैं।

जैसे:- 64 का वर्गमूल = 3√64 = 4
तथा 4 × 4 × 4 = 64 अभीष्ट संख्या

घनमूल निकालने का तरीका

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्डों के तीन गुणन खण्डों में से एक लेकर इनका गुणनफल ही संख्या का घनमूल होगा घनमूल वाले प्रश्न हल करने के लिए नीचे के 3 steps solve करने होते है।

  • दी गई संख्या में दाई और से तीन अंको का जोड़ा बनाये और शेष अंको का जोड़ा बनाएं।
  • दी गई संख्या में इकाई अंक जिस संख्या का घन करने से प्राप्त होगा वह संख्या उत्तर में सबसे अंत में लिखे।
  • शेष अंकों के जोड़े से बनी हुई संख्या जिस संख्या के घन करने से उसके सबसे नजदीक पहुँचे वह संख्या उत्तर में बाई ओर लिखे।

1 से लेकर 10 तक कि संख्याओं का घन

1
8
27
64
125
216
343
512
729
10³1,000

संख्याओं का घनमूल

∛11
∛82
∛273
∛644
∛1255
∛2166
∛3437
∛5128
∛7299
∛1,00010
∛1,33111
∛1,72812
∛2,19713
∛2,74414
∛3,37515
∛4,09616
∛4,91317
∛5,83218
∛6,85919
∛8,00020
∛9,26121
∛10,64822
∛12,16723
∛13,82424
∛15,62525
∛17,57626
∛19,68327
∛21,95228
∛24,38929
∛27,00030
∛29,79131
∛32,76832
∛35,93733
∛39,30434
∛42,87535
∛46,65636
∛50,65337
∛54,87238
∛59,31939
∛64,00040
∛68,92141
∛74,08842
∛79,50743
∛85,18444
∛91,12545
∛97,33646
∛103,82347
∛110,59248
∛117,64949
∛125,00050
∛132,65151
∛140,60852
∛148,87753
∛157,46454
∛166,37555
∛175,61656
∛185,19357
∛195,11258
∛205,37959
∛216,00060
∛226,98161
∛238,32862
∛250,04763
∛262,14464
∛274,62565
∛287,49666
∛300,76367
∛314,43268
∛328,50969
∛343,00070
∛357,91171
∛373,24872
∛389,01773
∛405,22474
∛421,87575
∛438,97676
∛456,53377
∛474,55278
∛493,03979
∛512,00080
∛531,44181
∛551,36882
∛571,78783
∛592,70484
∛614,12585
∛636,05686
∛658,50387
∛681,47288
∛704,96989
∛729,00090
∛753,57191
∛778,68892
∛804,35793
∛830,58494
∛857,37595
∛884,73696
∛912,67397
∛941,19298
∛970,29999
∛1,000,000100

वर्गमूल एवं घनमूल से संबंधित प्रश्न एवं हल

Q.1 √5808/48 = ?
A. 11
B. 13
C. 17
D. 19

हल:- प्रश्ननानुसार,
√5808/48 = ?
√121 = ?
? = 11

Ans. 11

Q.2 √324/1.5 = ?/√256
A. 122
B. 192
C. 288
D. 432

हल:- प्रश्ननानुसार,
√324/1.5 = ?/√256
18/1.5 = ?/16
1.5 × ? = 18 × 16
? = (18 × 16)/1.5
? = (18 × 16 × 10)/15
? = 192

Ans. 192

Q.3 √196/7 × √900/? = 4
A. 15
B. 150
C. 1575
D. 5705

हल:- प्रश्ननानुसार,
√196/7 × √900/? = 4
14/7 × 30/? = 4
2 × 30/? = 4
? = (30 × 2)/4
? = 15

Ans. 15

Q.4 (√24 + √216)/√96
A. 2√6
B. 6√2
C. 2/56
D. 2

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√24 + √216)/√96
√24(1 + √9)/√24 × √4
(1 + 3)/2
4/2
2

Ans. 2

Q.5 (√5 – √3)/(√5 – √3) का मान होगा?
A. 4 + √15
B. 4 – √15
C. 1/2
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√5 – √3)/(√5 – √3)
(√5 – √3) × (√5 – √3)/(√5 + √3)(√5 – √3)
[(√5)^2 + (√3)^2 – 2√5.√3]/(√5)^2 – (√3)^2
(5 + 3 – 2√15)/5 – 3
4 – √15

Ans. 6 – √15

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Q.6 (√10 × √15) का मान ज्ञात कीजिए?
A. 5√6
B. √30
C. 3√15
D. √25

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√10 × √15)
√150
5√6

Ans. 5√6

Q.7 112/√196 × √576/12 × √256/8 का मान होगा?
A. 8
B. 12
C. 16
D. 32

हल:- प्रश्ननानुसार,
(112/√196) × (√576/12) × (√256/8)
(112/14) × (24/12) × (16/8)
8 × 2 × 2
32

Ans. 32

Q.8 √(3.6 – 0.36) = ?
A. 1.8
B. 3.24
C. 10.5
D. 20.8

हल:- प्रश्ननानुसार,
√(3.6 – 0.36) = ?
√3.24 = ?
1.8 = ?

Ans. 1.8

Q.9 (√65025)² = (?)²
A. 255
B. 325
C. 510
D. 710

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√65025)² = (?)²
(?)² = 65025
? = √65025
? = 255

Ans. 255

Q.10 √? + 7 = √576
A. 169
B. 196
C. 225
D. 289

हल:- प्रश्ननानुसार,
√? + 7 = √576
√? = √576 – 7
√? = 24 – 7
√? = 17
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√?)² = (17)²
? = 289

Ans. 289

Q.11 √?/196 = 72/56 होगा
A. 14
B. 18
C. 212
D. 324

हल:- प्रश्ननानुसार,
√?/196 = 72/56
√?/14 = 72/56
√? = (72 × 14)/56
√? = 18
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(?)² = (18)²
? = 324

Ans. 324

Q.12 (√32 + √48)/(√8 + √12)
A. √2
B. 2
C. 4
D. 8

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√32 + √48)/(√8 + √12)
(4√2 + 4√3)/2√2 + 2√3
4(√2 + √3)/2(√2 + √3)
4/2
2

Ans. 2

Q.13 √5 + 2√6 – 1/√5 + 2√6 का मान होगा?
A. 2√2
B. 2√3
C. 1 + √5
D. √5 – 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
√5 + 2√6 – 1/√5 + 2√6
(√5 + 2√6 – 1)/√5 + 2√6
(4 + 2√6)/(√5 + 2√6)
माना, x = (4 + 2√6)/(√5 + 2√6)
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
x^2 = (16 + 24 + 16√6)/(5 + 2√6)
x^2 = 8(5 + 2√6)/(5 + 2√6)
x^2 = 8
x = 2√2

Ans. 2√2

Q.14 √(0.02 + √.0049) बराबर हैं?
A. 0.03
B. √.72
C. 0.3
D. √0.27

हल:- प्रश्ननानुसार,
√(0.02 + √.0049)
√(0.02 + 0.07)
√0.09
0.3

Ans. 0.3

Q.15 √(15612 + √154 + √225) का मान होगा?
A. 13
B. 15
C. 25
D. 125

हल:- प्रश्ननानुसार,
√(15612 + √154 + √225)
√(15612 + √154 + 15)
√(15612 + √169)
√(15612 + 13)
√15625
125

Ans. 125

Q.16 √4/3 – √3/4 का मान होगा?
A. 1/2√3
B. -1/2√3
C. 1
D. 5√3/6

हल:- प्रश्ननानुसार,
√4/3 – √3/4
2/√3 – √3/2
(4 – 3)/2√3
1/2√3

Ans. 1/2√3

Q.17 √16 ∛512 × 8 का मान क्या हैं?
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64

हल:- प्रश्ननानुसार,
√16 ∛512 × 8
√16∛8 × 8 × 8 × 2 × 2 × 2
√16 × 8 × 2
√16 × 16
16

Ans. 16

Q.18 √32.4/x = 0.18, तो x का मान होगा?
A. 10
B. 100
C. 200
D. 1000

हल:- प्रश्ननानुसार,
√32.4/x = 0.18
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√32.4/x)² = (0.18)²
32.4/x = 0.0324
x × 0.0324 = 32.4
x = (324 × 1000)/324
x = 1000

Ans. 1000

Q.19 √12+√12+√2+ ……..= ∞
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

हल:- प्रश्ननानुसार,
√12+√12+√2+ ……..= ∞
माना,
x = √12+√12+√2+ ……..= ∞
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x² = (√12+√12+√2+ ……..= ∞)²
x² = 12 + x
x² – x – 12 = 0
x² – 4x + 3x – 12 = 0
x(x – 4) + 3(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 3) = 0
x – 4 = 0, x + 3 = 0
x = 4, x = -3
x = 4

Ans. 4

Q.20 √3√3√3√3 = ?
A. 3
B. 9
C. 12
D. 18

हल:- प्रश्ननानुसार,
√3√3√3√3 = ?
माना,
x = √3√3√3√3
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x² = (√3√3√3√3)²
x² = 3x
x = 3

Ans. 3

Q.21 √2 तथा √3 के मध्य एक परिमेय संख्या हैं?
A. 1.5
B. 2.5
C. 3.7
D. 8.9

हल:- प्रश्ननानुसार,
√2 और √3 के बीच ऐसी संख्या जो पूर्ण वर्ग हो = 2.25
अतः अभीष्ट परिमेय संख्या = √2.25
1.5

Ans. 1.5

Q.22 वह छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या जो 15, 24 तथा 25 से विभक्त हैं होगी?
A. 900
B. 2025
C. 3600
D. 9000

हल:- प्रश्ननानुसार,
15,24 तथा 25 का ल.स. = 600
अतः अभीष्ट वर्ग संख्या = 600 × 6
3600

Ans. 3600

Q.23 वह छोटी से छोटी संख्या जो पूर्ण वर्ग हो तथा 3, 4, 5, 6, 8 प्रत्येक से पूर्णतया विभक्त हो क्या होगी?
A. 900
B. 1200
C. 2500
D. 3600

हल:- 3, 4, 5, 6, 8 का ल. स. = 120
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
अर्थात पूर्ण वर्ग होने के लिए उसे 2 × 3 × 5 से गुणा करना होगा।
अतः अभीष्ट संख्या = 120 × 30
= 3600

Ans. 3600

Q.24 60 का सबसे छोटा गुणज जो कि पूर्ण वर्ग हो, होगा?
A. 360
B. 600
C. 900
D. 3600

हल:- प्रश्ननानुसार,
60 = 2 × 2 × 3 × 5
अर्थात पूर्ण वर्ग होने के लिए उसे 3 × 5 से गुणा करना होगा।
अतः अभीष्ट संख्या = 60 × 3 × 5
= 900

Ans. 900

Q.25 (/21) × (/189) में प्रत्येक * के स्थान पर कौन सी संख्या आएगी?
A. 3969
B. 147
C. 39
D. 63

हल:- माना * के स्थान पर x हैं, तो x²/(21 × 189) = 1
x = √189 × 21
x = √7 × 3 × 7 × 27
x = 7 × 9
x = 63

Ans. 63

Q.26 दो संख्याओं का योग 100 व अंतर 37 हैं उनके वर्गों में अंतर होगा?
A. 37
B. 100
C. 3700
D. 1037

हल:- माना कि एक संख्या = a
तथा दूसरी संख्या = b
प्रश्ननानुसार,
a + b = 100
a – b = 37
a² – b² = (a + b)(a – b)
a² – b² = 100 × 37
a² – b² = 3700

Ans. 3700

Q.27 यदि 23 = √13 तथा 34 = 5 हो, तो 5*12 का मान होगा?
A. 12
B. 13
C. √17
D. √29

हल:- 5*12
= √(5² + 12²)
= √25 + 144
= √169
= 13

Ans. 13

Q.28 दिया हैं कि √10 = 3.16 हैं, तो √0.9 का निकटतम मान क्या हैं?
A. 0.9493
B. 0.8808
C. 98.780
D. 0.5620

हल:- √0.9
√9/10
3/3.16
0.9493

Ans. 0.9493

Q.29 यदि √3 = 1.732 हो, तो 1/√3 किसके बराबर होगा?
A. 0.057
B. 5.770
C. 0.755
D. 0.577

हल:- प्रश्ननानुसार,
1/√3
= √3/3
= 1.732/3
= 0.577

Ans. 0.577

Q.30 यदि √5 = 2.2360 दिया हैं, तो √180 – √80 बराबर होगा?
A. 4.4720
B. 5
C. 7
D. 48.90

हल:- प्रश्ननानुसार,
√180 – √180
6√5 – 4√5
2√5
2 × 2.2360
4.4720

Ans. 4.4720

Q.31 यदि √24 = 4.899 तो √8/3 का मान होगा?
A. 0.544
B. 1.333
C. 1.633
D. 2.666

हल:- प्रश्ननानुसार,
√8/3 = √8/3 × √3/3
√24/3
4.899/3
1.633

Ans. 1.633

Q.32 यदि a = 4 और b = 6 हो तो, a/4√(4b² – a²) का मान होगा?
A. 12
B. √128
C. √35
D. 4√18

हल:- प्रश्ननानुसार,
4/4√4 × 36 – 16
√144 – 16
√128

Ans. √128

Q.33 व्यंजक 11.98 × 11.98 + 11.98 × x + 0.02 × 0.02 पूर्ण वर्ग होगा यदि x बराबर ? हो, तो ? का मान होगा?
A. 0.02
B. 0.2
C. 0.04
D. 0.4

हल:- माना,
a = 11.98 और b = 0.02
व्यंजक = a² + a × x + b²
व्यंजक को पूर्ण होने के लिए,
x = 2b
x = 2 × 0.02
x = 0.04

Ans. 0.04

Q.34 यदि √a + √b = 17 तथा √a – √b = 1 हो तो √ab का मान हैं?
A. 17
B. 18
C. 72
D. 86

हल:- प्रश्ननानुसार,
√a + √b = 17……(1)
√a – √b = 1………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
2√a = 18
√a = 9 और √b = 8
√a.√b = 9 × 8
√a.√b = 72
√ab = 72

Ans. 72

Q.35 यदि √289 ÷ √x = 1/5, तो x का मान होगा?
A. 17/25
B. 8796
C. 29/47
D. 7225

हल:- प्रश्ननानुसार,
√289 ÷ √x = 1/5
17/√x = 1/5
√x = 17 × 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√x)² = (85)²
x = 7225

Ans. 7225

Q.36 यदि x * y = √(x + y)(y² – 12x)/(x – 2)(y – 7), तो 5 * 9 का मान होगा?
A. 4
B. 7
C. 9
D. 11

हल:- प्रश्नानुसार,
5 * 9 = √(5 + 9)(9² – 12 × 5) / (5 – 2)(9 – 7)
5 * 9 = √(14 × 21)/(3 × 2)
5 * 9 = √(7 × 7)
5 * 9 = 7

Ans. 7

Q.37 यदि 2 * 3 = √13 तथा 3 × 4 = 5 हो, तो 5 * 12 का मान होगा?
A. √17
B. √29
C. 12
D. 13

हल:- प्रश्नानुसार,
5 * 12 = √5² + 12²
5 * 12 = √25 + 144
5 * 12 = √169
5 * 12 = 13

Ans. 13

Q.38 यदि √2 = 1.4142 हो, तो ½ (√2 – 1/√2 + 1) का मान होगा?
A. 0.085
B. 0.086
C. 0.850
D. 0.860

हल:- प्रश्नानुसार,
½ [(√2 – 1)/(√2 + 1)] = ½ (√2 – 1)(√2 – 1)/(√2 + 1)(√2 – 1)
= ½ × (2 + 1 – 2√2)/2 – 1
= ½ × (3 – 2√2)
= ½ (3 – 2 × 1.4142)
= ½ (3 – 2.8284)
= ½ × 0.1716
= 0.0858
= 0.086

Ans. 0.086

Q.39 (*/21) × (*/189) = 1 में प्रत्येक * के स्थान पर कौन सी संख्या आएगी?
A. 3969
B. 147
C. 63
D. 21

हल:- प्रश्नानुसार,
माना * के स्थान पर x हैं, तो
x² /21 × 89 = 1
x² = 21 × 89
x = √21 × 89
x = √7 × 3 × 7 × 27
x = 7 × 9
x = 63

Ans. 63

Q.40 दो संख्याओं का योग 100 व अंतर 37 हैं उनके वर्गों में अंतर होगा?
A. 37
B. 63
C. 100
D. 3700

हल:- माना कि एक संख्या = a
तथा दूसरी संख्या = b
प्रश्नानुसार,
a + b = 100 तथा
a – b = 37
a² – b² = (a + b) (a – b)
= 37 × 100
= 3700

Ans. 3700

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आशा है वर्गमूल एवं घनमूल की यह जानकारी आपको पसंद आएगी और आप इसको पढ़कर आसानी से वर्गमूल एवं घनमूल के प्रश्नो को हल कर पाएंगे।

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