वर्गमूल एवं घनमूल - 1 से 100 तक

इस पेज पर आप गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय वर्गमूल एवं घनमूल की को विस्तार से पड़कर समझेंगे।

पिछले पेज पर हम गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय त्रिकोणमिति की समस्त जानकारी शेयर कर चुके है उसे अवश्य पढ़े।

चलिए वर्गमूल और घनमूल की समस्त जानकारी को पढ़ना शुरू करते है।

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल वह संख्या होती हैं जिसे परस्पर दो बार गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती हैं। इसे (√) चिन्ह से दर्शाते हैं।

जैसे:-

25 का वर्गमूल = √25 = 5
49 का वर्गमूल = √49 = 7
81 का वर्गमूल = √81 = 9

वर्गमूल निकालने का तरीका

(A). गुणनखण्ड विधि

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्डों के प्रत्येक जोड़े में से एक लेकर इनका गुणनफल ही संख्या का वर्गमूल होगा।

जैसे:- 625 का वर्गमूल ज्ञात?

हल:- 625 = 5 × 5 × 5 × 5
625 =5^2 × 5^2
√625 = 5 × 5
√625 = 25

(B) भाग विधि

इस विधि में संख्या में दाईं ओर से दो-दो अंकों का जोड़ा बनाकर वर्गमूल मालूम करते हैं।

जैसे:- 50625 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए?

हल:- √50625 = 225

नोट:- यदि किसी संख्या में इकाई के स्थान पर 2, 3, 7 या 8 हो तो उस संख्या का वर्गमूल पूरा-पूरा नहीं निकलेगा।

वर्गमूल निकालने के लिए महत्वपूर्ण बिन्दु

दाई ओर से दो अंको का जोड़ा बनाये और शेष बचे सभी अंको का एक जोड़ा बनाये।
संख्या में दिया इकाई किसी संख्या का वर्गमूल करने पर प्राप्त होगी यह पता लगाएं और उसे उत्तर में सबसे अंत में लिखे।
शेष अंको के जोड़े से बनी हुई संख्या के सबसे नजदीक आने वाली ऐसी संख्या जिस संख्या का वर्ग हो उसे उत्तर में बाई ओर लिखे।
यदि ऐसी स्थिति में दो संख्या प्राप्त हो तो उनके बीच इकाई अंक 5 वाली संख्या का वर्ग करके दी गई संख्या से तुलना करें, तुलना करने पर दी गई संख्या छोटी संख्या हैं, तो उत्तर छोटा होगा और दी गई संख्या तुलना करने पर बड़ी संख्या प्राप्त हो तो उत्तर बड़ा होगा।

1 से लेकर 100 तक के वर्गमूल

√1	1
√4	2
√9	3
√16	4
√25	5
√36	6
√49	7
√64	8
√81	9
√100	10
√121	11
√144	12
√169	13
√196	14
√225	15
√256	16
√289	17
√324	18
√361	19
√400	20
√441	21
√484	22
√529	23
√576	24
√625	25
√676	26
√729	27
√784	28
√841	29
√900	30
√961	31
√1024	32
√1089	33
√1156	34
√1225	35
√1296	36
√1369	37
√1444	38
√1521	39
√1600	40
√1681	41
√1764	42
√1849	43
√1936	44
√2025	45
√2116	46
√2209	47
√2304	48
√2401	49
√2500	50
√2601	51
√2704	52
√2809	53
√2916	54
√3025	55
√3136	56
√3249	57
√3364	58
√3481	59
√3600	60
√3,721	61
√3,844	62
√3,969	63
√4,096	64
√4,225	65
√4,356	66
√4,489	67
√4,624	68
√4,761	69
√4,900	70
√5,041	71
√5,184	72
√5,329	73
√5,476	74
√5,625	75
√5,776	76
√5,929	77
√6,084	78
√6,241	79
√6,400	80
√6,561	81
√6,724	82
√6,889	83
√7,056	84
√7,225	85
√7,396	86
√7,569	87
√7,744	88
√7,921	89
√8,100	90
√8,281	91
√8,464	92
√8,649	93
√8,836	94
√9,025	95
√9,216	96
√9,409	97
√9,604	98
√9,801	99
√10,000	100

1 से लेकर 15 तक कि संख्याओं का वर्गमूल

√1	1
√2	1.41421…
√3	1.73205…
√4	2
√5	2.23606…
√6	2.449…
√7	2.646…
√8	2.828…
√9	3
√10	3.162…
√11	3.317…
√12	3.464…
√13	3.606…
√14	3.714…
√15	3.873…

दशमलव संख्याओं के वर्गमूल

√.1	0.32
√.2	0.45
√.3	0.55
√.4	0.63
√.5	0.71
√.6	0.77
√.7	0.84
√.8	0.89
√.9	0.95
√.10	0.32

घनमूल

किसी संख्या का घनमूल वह संख्या हैं, जिसे परस्पर तीन बार गुणा करने पर दी गई संख्या प्राप्त होती हैं। इसे (∛) चिन्ह से दर्शाते हैं।

जैसे:- 64 का वर्गमूल = 3√64 = 4
तथा 4 × 4 × 4 = 64 अभीष्ट संख्या

घनमूल निकालने का तरीका

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखण्डों के तीन गुणन खण्डों में से एक लेकर इनका गुणनफल ही संख्या का घनमूल होगा घनमूल वाले प्रश्न हल करने के लिए नीचे के 3 steps solve करने होते है।

दी गई संख्या में दाई और से तीन अंको का जोड़ा बनाये और शेष अंको का जोड़ा बनाएं।
दी गई संख्या में इकाई अंक जिस संख्या का घन करने से प्राप्त होगा वह संख्या उत्तर में सबसे अंत में लिखे।
शेष अंकों के जोड़े से बनी हुई संख्या जिस संख्या के घन करने से उसके सबसे नजदीक पहुँचे वह संख्या उत्तर में बाई ओर लिखे।

1 से 100 तक की संख्याओं के घनमूल

∛1	1
∛8	2
∛27	3
∛64	4
∛125	5
∛216	6
∛343	7
∛512	8
∛729	9
∛1,000	10
∛1,331	11
∛1,728	12
∛2,197	13
∛2,744	14
∛3,375	15
∛4,096	16
∛4,913	17
∛5,832	18
∛6,859	19
∛8,000	20
∛9,261	21
∛10,648	22
∛12,167	23
∛13,824	24
∛15,625	25
∛17,576	26
∛19,683	27
∛21,952	28
∛24,389	29
∛27,000	30
∛29,791	31
∛32,768	32
∛35,937	33
∛39,304	34
∛42,875	35
∛46,656	36
∛50,653	37
∛54,872	38
∛59,319	39
∛64,000	40
∛68,921	41
∛74,088	42
∛79,507	43
∛85,184	44
∛91,125	45
∛97,336	46
∛103,823	47
∛110,592	48
∛117,649	49
∛125,000	50
∛132,651	51
∛140,608	52
∛148,877	53
∛157,464	54
∛166,375	55
∛175,616	56
∛185,193	57
∛195,112	58
∛205,379	59
∛216,000	60
∛226,981	61
∛238,328	62
∛250,047	63
∛262,144	64
∛274,625	65
∛287,496	66
∛300,763	67
∛314,432	68
∛328,509	69
∛343,000	70
∛357,911	71
∛373,248	72
∛389,017	73
∛405,224	74
∛421,875	75
∛438,976	76
∛456,533	77
∛474,552	78
∛493,039	79
∛512,000	80
∛531,441	81
∛551,368	82
∛571,787	83
∛592,704	84
∛614,125	85
∛636,056	86
∛658,503	87
∛681,472	88
∛704,969	89
∛729,000	90
∛753,571	91
∛778,688	92
∛804,357	93
∛830,584	94
∛857,375	95
∛884,736	96
∛912,673	97
∛941,192	98
∛970,299	99
∛1,000,000	100

वर्गमूल एवं घनमूल से संबंधित सवाल

Q.1 √5808/48 = ?
A. 11
B. 13
C. 17
D. 19

हल:- प्रश्ननानुसार,
√5808/48 = ?
√121 = ?
? = 11

Ans. 11

Q.2 √324/1.5 = ?/√256
A. 122
B. 192
C. 288
D. 432

हल:- प्रश्ननानुसार,
√324/1.5 = ?/√256
18/1.5 = ?/16
1.5 × ? = 18 × 16
? = (18 × 16)/1.5
? = (18 × 16 × 10)/15
? = 192

Ans. 192

Q.3 √196/7 × √900/? = 4
A. 15
B. 150
C. 1575
D. 5705

हल:- प्रश्ननानुसार,
√196/7 × √900/? = 4
14/7 × 30/? = 4
2 × 30/? = 4
? = (30 × 2)/4
? = 15

Ans. 15

Q.4 (√24 + √216)/√96
A. 2√6
B. 6√2
C. 2/56
D. 2

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√24 + √216)/√96
√24(1 + √9)/√24 × √4
(1 + 3)/2
4/2
2

Ans. 2

Q.5 (√5 – √3)/(√5 – √3) का मान होगा?
A. 4 + √15
B. 4 – √15
C. 1/2
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√5 – √3)/(√5 – √3)
(√5 – √3) × (√5 – √3)/(√5 + √3)(√5 – √3)
[(√5)^2 + (√3)^2 – 2√5.√3]/(√5)^2 – (√3)^2
(5 + 3 – 2√15)/5 – 3
4 – √15

Ans. 6 – √15

Q.6 (√10 × √15) का मान ज्ञात कीजिए?
A. 5√6
B. √30
C. 3√15
D. √25

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√10 × √15)
√150
5√6

Ans. 5√6

Q.7 112/√196 × √576/12 × √256/8 का मान होगा?
A. 8
B. 12
C. 16
D. 32

हल:- प्रश्ननानुसार,
(112/√196) × (√576/12) × (√256/8)
(112/14) × (24/12) × (16/8)
8 × 2 × 2
32

Ans. 32

Q.8 √(3.6 – 0.36) = ?
A. 1.8
B. 3.24
C. 10.5
D. 20.8

हल:- प्रश्ननानुसार,
√(3.6 – 0.36) = ?
√3.24 = ?
1.8 = ?

Ans. 1.8

Q.9 (√65025)² = (?)²
A. 255
B. 325
C. 510
D. 710

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√65025)² = (?)²
(?)² = 65025
? = √65025
? = 255

Ans. 255

Q.10 √? + 7 = √576
A. 169
B. 196
C. 225
D. 289

हल:- प्रश्ननानुसार,
√? + 7 = √576
√? = √576 – 7
√? = 24 – 7
√? = 17
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√?)² = (17)²
? = 289

Ans. 289

Q.11 √?/196 = 72/56 होगा
A. 14
B. 18
C. 212
D. 324

हल:- प्रश्ननानुसार,
√?/196 = 72/56
√?/14 = 72/56
√? = (72 × 14)/56
√? = 18
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(?)² = (18)²
? = 324

Ans. 324

Q.12 (√32 + √48)/(√8 + √12)
A. √2
B. 2
C. 4
D. 8

हल:- प्रश्ननानुसार,
(√32 + √48)/(√8 + √12)
(4√2 + 4√3)/2√2 + 2√3
4(√2 + √3)/2(√2 + √3)
4/2
2

Ans. 2

Q.13 √5 + 2√6 – 1/√5 + 2√6 का मान होगा?
A. 2√2
B. 2√3
C. 1 + √5
D. √5 – 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
√5 + 2√6 – 1/√5 + 2√6
(√5 + 2√6 – 1)/√5 + 2√6
(4 + 2√6)/(√5 + 2√6)
माना, x = (4 + 2√6)/(√5 + 2√6)
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
x^2 = (16 + 24 + 16√6)/(5 + 2√6)
x^2 = 8(5 + 2√6)/(5 + 2√6)
x^2 = 8
x = 2√2

Ans. 2√2

Q.14 √(0.02 + √.0049) बराबर हैं?
A. 0.03
B. √.72
C. 0.3
D. √0.27

हल:- प्रश्ननानुसार,
√(0.02 + √.0049)
√(0.02 + 0.07)
√0.09
0.3

Ans. 0.3

Q.15 √(15612 + √154 + √225) का मान होगा?
A. 13
B. 15
C. 25
D. 125

हल:- प्रश्ननानुसार,
√(15612 + √154 + √225)
√(15612 + √154 + 15)
√(15612 + √169)
√(15612 + 13)
√15625
125

Ans. 125

Q.16 √4/3 – √3/4 का मान होगा?
A. 1/2√3
B. -1/2√3
C. 1
D. 5√3/6

हल:- प्रश्ननानुसार,
√4/3 – √3/4
2/√3 – √3/2
(4 – 3)/2√3
1/2√3

Ans. 1/2√3

Q.17 √16 ∛512 × 8 का मान क्या हैं?
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64

हल:- प्रश्ननानुसार,
√16 ∛512 × 8
√16∛8 × 8 × 8 × 2 × 2 × 2
√16 × 8 × 2
√16 × 16
16

Ans. 16

Q.18 √32.4/x = 0.18, तो x का मान होगा?
A. 10
B. 100
C. 200
D. 1000

हल:- प्रश्ननानुसार,
√32.4/x = 0.18
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√32.4/x)² = (0.18)²
32.4/x = 0.0324
x × 0.0324 = 32.4
x = (324 × 1000)/324
x = 1000

Ans. 1000

Q.19 √12+√12+√2+ ……..= ∞
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

हल:- प्रश्ननानुसार,
√12+√12+√2+ ……..= ∞
माना,
x = √12+√12+√2+ ……..= ∞
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x² = (√12+√12+√2+ ……..= ∞)²
x² = 12 + x
x² – x – 12 = 0
x² – 4x + 3x – 12 = 0
x(x – 4) + 3(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 3) = 0
x – 4 = 0, x + 3 = 0
x = 4, x = -3
x = 4

Ans. 4

Q.20 √3√3√3√3 = ?
A. 3
B. 9
C. 12
D. 18

हल:- प्रश्ननानुसार,
√3√3√3√3 = ?
माना,
x = √3√3√3√3
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
x² = (√3√3√3√3)²
x² = 3x
x = 3

Ans. 3

Q.21 √2 तथा √3 के मध्य एक परिमेय संख्या हैं?
A. 1.5
B. 2.5
C. 3.7
D. 8.9

हल:- प्रश्ननानुसार,
√2 और √3 के बीच ऐसी संख्या जो पूर्ण वर्ग हो = 2.25
अतः अभीष्ट परिमेय संख्या = √2.25
1.5

Ans. 1.5

Q.22 वह छोटी से छोटी पूर्ण वर्ग संख्या जो 15, 24 तथा 25 से विभक्त हैं होगी?
A. 900
B. 2025
C. 3600
D. 9000

हल:- प्रश्ननानुसार,
15,24 तथा 25 का ल.स. = 600
अतः अभीष्ट वर्ग संख्या = 600 × 6
3600

Ans. 3600

Q.23 वह छोटी से छोटी संख्या जो पूर्ण वर्ग हो तथा 3, 4, 5, 6, 8 प्रत्येक से पूर्णतया विभक्त हो क्या होगी?
A. 900
B. 1200
C. 2500
D. 3600

हल:- 3, 4, 5, 6, 8 का ल. स. = 120
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
अर्थात पूर्ण वर्ग होने के लिए उसे 2 × 3 × 5 से गुणा करना होगा।
अतः अभीष्ट संख्या = 120 × 30
= 3600

Ans. 3600

Q.24 60 का सबसे छोटा गुणज जो कि पूर्ण वर्ग हो, होगा?
A. 360
B. 600
C. 900
D. 3600

हल:- प्रश्ननानुसार,
60 = 2 × 2 × 3 × 5
अर्थात पूर्ण वर्ग होने के लिए उसे 3 × 5 से गुणा करना होगा।
अतः अभीष्ट संख्या = 60 × 3 × 5
= 900

Ans. 900

Q.25 (/21) × (/189) में प्रत्येक * के स्थान पर कौन सी संख्या आएगी?
A. 3969
B. 147
C. 39
D. 63

हल:- माना * के स्थान पर x हैं, तो x²/(21 × 189) = 1
x = √189 × 21
x = √7 × 3 × 7 × 27
x = 7 × 9
x = 63

Ans. 63

Q.26 दो संख्याओं का योग 100 व अंतर 37 हैं उनके वर्गों में अंतर होगा?
A. 37
B. 100
C. 3700
D. 1037

हल:- माना कि एक संख्या = a
तथा दूसरी संख्या = b
प्रश्ननानुसार,
a + b = 100
a – b = 37
a² – b² = (a + b)(a – b)
a² – b² = 100 × 37
a² – b² = 3700

Ans. 3700

Q.27 यदि 23 = √13 तथा 34 = 5 हो, तो 5*12 का मान होगा?
A. 12
B. 13
C. √17
D. √29

हल:- 5*12
= √(5² + 12²)
= √25 + 144
= √169
= 13

Ans. 13

Q.28 दिया हैं कि √10 = 3.16 हैं, तो √0.9 का निकटतम मान क्या हैं?
A. 0.9493
B. 0.8808
C. 98.780
D. 0.5620

हल:- √0.9
√9/10
3/3.16
0.9493

Ans. 0.9493

Q.29 यदि √3 = 1.732 हो, तो 1/√3 किसके बराबर होगा?
A. 0.057
B. 5.770
C. 0.755
D. 0.577

हल:- प्रश्ननानुसार,
1/√3
= √3/3
= 1.732/3
= 0.577

Ans. 0.577

Q.30 यदि √5 = 2.2360 दिया हैं, तो √180 – √80 बराबर होगा?
A. 4.4720
B. 5
C. 7
D. 48.90

हल:- प्रश्ननानुसार,
√180 – √180
6√5 – 4√5
2√5
2 × 2.2360
4.4720

Ans. 4.4720

Q.31 यदि √24 = 4.899 तो √8/3 का मान होगा?
A. 0.544
B. 1.333
C. 1.633
D. 2.666

हल:- प्रश्ननानुसार,
√8/3 = √8/3 × √3/3
√24/3
4.899/3
1.633

Ans. 1.633

Q.32 यदि a = 4 और b = 6 हो तो, a/4√(4b² – a²) का मान होगा?
A. 12
B. √128
C. √35
D. 4√18

हल:- प्रश्ननानुसार,
4/4√4 × 36 – 16
√144 – 16
√128

Ans. √128

Q.33 व्यंजक 11.98 × 11.98 + 11.98 × x + 0.02 × 0.02 पूर्ण वर्ग होगा यदि x बराबर ? हो, तो ? का मान होगा?
A. 0.02
B. 0.2
C. 0.04
D. 0.4

हल:- माना,
a = 11.98 और b = 0.02
व्यंजक = a² + a × x + b²
व्यंजक को पूर्ण होने के लिए,
x = 2b
x = 2 × 0.02
x = 0.04

Ans. 0.04

Q.34 यदि √a + √b = 17 तथा √a – √b = 1 हो तो √ab का मान हैं?
A. 17
B. 18
C. 72
D. 86

हल:- प्रश्ननानुसार,
√a + √b = 17……(1)
√a – √b = 1………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
2√a = 18
√a = 9 और √b = 8
√a.√b = 9 × 8
√a.√b = 72
√ab = 72

Ans. 72

Q.35 यदि √289 ÷ √x = 1/5, तो x का मान होगा?
A. 17/25
B. 8796
C. 29/47
D. 7225

हल:- प्रश्ननानुसार,
√289 ÷ √x = 1/5
17/√x = 1/5
√x = 17 × 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√x)² = (85)²
x = 7225

Ans. 7225

Q.36 यदि x * y = √(x + y)(y² – 12x)/(x – 2)(y – 7), तो 5 * 9 का मान होगा?
A. 4
B. 7
C. 9
D. 11

हल:- प्रश्नानुसार,
5 * 9 = √(5 + 9)(9² – 12 × 5) / (5 – 2)(9 – 7)
5 * 9 = √(14 × 21)/(3 × 2)
5 * 9 = √(7 × 7)
5 * 9 = 7

Ans. 7

Q.37 यदि 2 * 3 = √13 तथा 3 × 4 = 5 हो, तो 5 * 12 का मान होगा?
A. √17
B. √29
C. 12
D. 13

हल:- प्रश्नानुसार,
5 * 12 = √5² + 12²
5 * 12 = √25 + 144
5 * 12 = √169
5 * 12 = 13

Ans. 13

Q.38 यदि √2 = 1.4142 हो, तो ½ (√2 – 1/√2 + 1) का मान होगा?
A. 0.085
B. 0.086
C. 0.850
D. 0.860

हल:- प्रश्नानुसार,
½ [(√2 – 1)/(√2 + 1)] = ½ (√2 – 1)(√2 – 1)/(√2 + 1)(√2 – 1)
= ½ × (2 + 1 – 2√2)/2 – 1
= ½ × (3 – 2√2)
= ½ (3 – 2 × 1.4142)
= ½ (3 – 2.8284)
= ½ × 0.1716
= 0.0858
= 0.086

Ans. 0.086

Q.39 (*/21) × (*/189) = 1 में प्रत्येक * के स्थान पर कौन सी संख्या आएगी?
A. 3969
B. 147
C. 63
D. 21

हल:- प्रश्नानुसार,
माना * के स्थान पर x हैं, तो
x² /21 × 89 = 1
x² = 21 × 89
x = √21 × 89
x = √7 × 3 × 7 × 27
x = 7 × 9
x = 63