सरलीकरण

सरलीकरण की परिभाषा, प्रकार, ट्रिक्स और प्रश्न एंव हल

Last Updated on June 22nd, 2020 by Bhupendra Singh

इस पेज पर आप सरलीकरण की परिभाषा और BODMAS के नियम एवं सर्वसमिकाए और सरलीकरण से संबंधित प्रश्न उत्तर को पड़ेगे जो गवर्मेन्ट परीक्षा की दृष्टि से जरूरी हैं।

पिछले पेज पर हमने मिश्रण क्या हैं इसके नियम और उदाहरण को विस्तार से समझाया हैं यदि आपने अभी तक उस आर्टिकल को नहीं पढ़ा तो उसे भी जरूर पढ़िए।

सरलीकरण : Simplification

किसी गणितीय व्यंजक को साधारण भिन्न या संख्यात्मक रूप में बदलने की प्रक्रिया ‘सरलीकरण’ कहलाती है।
इसके अन्तर्गत गणितीय संक्रियाओं ; जैसे जोड़, घटाव, गुणा, भाग आदि को BODMAS क्रम के आधार पर हल करते हुए दिए गए व्यंजक का मान प्राप्त किया जाता है ।

कोष्ठक चार प्रकार के होते हैं

  1. → रेखा कोष्ठक (Line Bracket)
  2. ( ) → छोटा कोष्ठक (Simple or Small Bracket)
  3. { } → मझला कोष्ठक (Curly Bracket)
  4. [ ] → बड़ा कोष्ठक (Square Bracket)

इनको इसी क्रम में सरल करते हैं यदि कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो, तो सरल करने पर अन्दर के सभी चिह्न बदल जाते हैं।

BODMAS का नियम

BODMAS में कोष्ठक (Bracket), का (of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), तथा घटाव (Subtraction) की क्रिया एक साथ कि जाती हैं।

अतः BODMAS संबंधी प्रश्नों को हल करने के लिए प्रश्नों को उपर्युक्त दिए गए क्रम में ही हल करें अर्थात सबसे पहले Bracket की क्रिया करते हैं
Bracket में सबसे पहले रेखा कोष्ठक ( – ) फिर छोटा कोष्ठक ( ) फिर मझोला कोष्ठ { } फिर बड़ा कोष्ठक [ ] को हल करते हैं।
तब का (of) की क्रिया, फिर भाग (÷) की क्रिया, फिर गुणा (×) की क्रिया तथा अंत में घटाव की क्रिया करते हैं उपर्युक्त क्रियाओं में से एक या अधिक के अनुपस्थित रहने पर क्रम में कोई परिवर्तन नहीं होता हैं।

  • B → कोष्ठक ( Bracket ) रेखा कोष्ठक, छोटा कोष्ठक, मझला कोष्ठक, बड़ा कोष्ठक
  • O → का ( Of )
  • D → भाग ( Division )
  • M → गुणा ( Multiplication )
  • A → योग ( Addition )
  • S → अन्तर ( Subtraction )

उपरोक्त क्रम के अलावा व्यंजकों के सरलीकरण में विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों का भी प्रयोग किया जाता है।

सरलीकरण हेतु महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएं

(a). उभयनिष्ट गुणक

  • c(a+b) = ca + cb

(b). द्विपद का वर्ग

  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a-b)² = a² – 2ab + b²

(c). दो पदों के योग एवं अन्तर का गुणनफल (वर्गान्तर सूत्र)

  • a² – b² = (a+b) (a-b)

(d). अन्यान्य सर्वसमिकाएँ(घनों का योग व अंतर)

  • a³ – b³ = (a-b) (a² + ab + b²)
  • a³ + b³ = (a+b) (a² – ab + b²)

(e). द्विपद का घन

  • (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  • (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(f). बहुपद का वर्ग

  • (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(g). दो द्विपदों का गुणन जिनमें एक समान पद हो

  • (x + a )(x + b ) = x² + (a + b )x + ab

(h). गाउस (Gauss) की सर्वसमिका

  • a³ + b³ + c³ – 3abc = (a+b+c) (a² + b² + c² – ab -bc – ca)

(i). लिगेन्द्र (Legendre) सर्वसमिका

  • (a+b)² + (a-b)² = 2(a² + b²)
  • (a+b)² – (a-b)² = 4ab)
  • (a+b)4 – (a-b)4 = 8ab(a2 + b2)

(j). लाग्रेंज (Lagrange) की सर्वसमिका

  • (a² + b²)(x² + y²) = (ax+by)² + (ay-bx)²
  • (a² + b² + c²) (x² + y² + z²) = (ax+by+cz)² + (ay-bx)² + (az-cx)² + (bz-cy )²

सरलीकरण के महत्वपूर्ण प्रश्न एवं हल

Q.1 3120 ÷ 26 + 13 × 30 = ?
A. 536
B. 240
C. 510
D. 497

हल:- प्रश्ननानुसार,
3120 ÷ 26 + 13 × 30 = ?
120 + 390
510
Ans. 510

Q.2 140√? + 315 = 1015
A. 5
B. 15
C. 25
D. 50

हल:- प्रश्ननानुसार,
140√? + 315 = 1015
140√? = 1015 – 315
140√? = 700
√? = 700/140
√? = 5
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√?)² = (5)²
? = 25
Ans. 25

Q.3 (10.5 का 43/7) ÷ (? का 2.1) = 30/7
A. 28/3
B. 43/6
C. 49/57
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
(10.5 का 43/7) ÷ (? का 2.1) = 30/7
10.5 × 43/7 ÷ ? × 2.1 = 30/7
105/10 × 43/7 × 1/? = 30/7
1/? = 30/7 × 2/129 × 21/0
1/? = 6/43
? = 43/6
Ans. 43/6

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Q.4 (6 + 6 + 6 +6) ÷ 6 / (4 + 4 + 4 + 4 +) ÷ 4 का मान होगा?
A. 4/13
B. 3/2
C. 18/19
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
(6 + 6 + 6 +6) ÷ 6 / (4 + 4 + 4 + 4 +) ÷ 4
(24 ÷ 6)/4 + 4 + 4 + 4/4
4/(4 + 4 + 4 + 1)
4/13
Ans. 4/13

Q.5 78.4 × 10 – √484 / 13 × 11 + 47 + (8)²
A. 1.18
B. 3.49
C. 3
D. 762

हल:- प्रश्ननानुसार,
78.4 × 10 – √484 / 13 × 11 + 47 + (8)²
(784 – 22)/13 × 11 + 47 + 64
762/(143 + 111)
762/254
Ans. 3

Q.6 (0.2 × 0.2 + 0.02 × 0.02 – 0.4 × 0.02)/0.36 का सरल करने पर प्राप्त होता हैं?
A. 11.0
B. 0.9
C. 0.09
D. 0.009

हल:- प्रश्ननानुसार,
(0.2 × 0.2 + 0.02 × 0.02 – 0.4 × 0.02)/0.36
(0.2 – 0.02)^2 / 0.36
(0.18 × 0.18)/0.36
Ans. 0.09

Q.7 (75983 × 75983 – 45983 × 45983)/30000 का सरल करने पर परिणाम मिलता हैं?
A. 1217696
B. 6780928
C. 7326810
D. 6724567

हल:- प्रश्ननानुसार,
(75983 × 75983 – 45983 × 45983)/30000
(75983)^2 – (45983)^2/(75983 – 45983)
a² – b² = (a + b)(a – b)
a = 75983, b = 45983
(75983 + 45983)(75983 – 45983)/(75983 – 45983)
75983 + 45983
Ans. 121966

Q.8 (5 + 5 + 5/5) / (5 + 5 + 5)/5 को सरल कीजिए?
A. 13/3
B. 1
C. 11/3
D. 17/3

हल:- प्रश्ननानुसार,
(5 + 5 + 5/5) / (5 + 5 + 5)/5
(5 + 5 + 1) / (15/5)
Ans. 11/3

Q.9 (1/5 ÷ 1/5 का 1/5)/(1/5 का 1/5 ÷ 1/5) का मान होगा?
A. 0.2
B. 1
C. 5
D. 25

हल:- प्रश्ननानुसार,
(1/5 ÷ 1/5 का 1/5)/(1/5 का 1/5 ÷ 1/5)
(1/5 × 5/1 × 1/5)/(1/5 × 1/5 × 5
1/5 / 1/5
1/5 × 5/1
Ans. 1

Q.10 10 – [9 – {8 – (7 – 6)}] – 5
A. -5
B. 1
C. 9
D. 3

हल:- प्रश्ननानुसार,
10 – [9 – {8 – (7 – 6)}] – 5
10 – [9 – {8 – 1}] – 5
10 – [9 – 7] – 5
10 – 2 – 5
10 – 7
Ans. 3

Q.11 5136 ÷ ( 523 + 333 ) का 3/4 + 459 = ?
A. 520
B. 541
C. 467
D. 493

हल:- प्रश्ननानुसार,
5136 ÷ ( 523 + 333 ) का 3/4 + 459 = ?
5136 ÷ 856 × 3/4 + 459 = ?
5136 / 642 + 459 = ?
? = 8 + 459
? = 467
Ans. 467

Q.12 2/3 – 46/51 का 21/23 का 5/7 = 8/85 का?
A. 1/6
B. 5/6
C. 5/7
D. 2/17

हल:- प्रश्ननानुसार,
2/3 – 46/51 का 21/23 का 5/7 = 8/85 का?
2/3 – 46/51 × 21/23 × 5/7 = 8/85 × ?
2/3 – 30/51 = 8/85 × ?
? = 4/51 × 85/8
? = 5/6
? = 5/6
Ans. 5/6

Q.13 48 ÷ 12 × ( 4/3 का 9/8 + 2/3 का 3/4 ) का मान है?
A. 8
B. 12
C. 15
D. 20

हल:- प्रश्ननानुसार,
48 ÷ 12 × ( 4/3 का 9/8 + 2/3 का 3/4 ) = ?
? = 48/12 × ( 4/3 × 9/8 + 2/3 × 3/4 )
? = 4 × ( 3/2 + 1/2 ) = 4 × 2 = 8
? = 8
Ans. 8

Q.14 7854 × 549 ÷ 3 – 1425 × 321 + √961 = ?
A. 979999
B. 979888
C. 979910
D. 989890

हल:- प्रश्ननानुसार,
7854 × 549 ÷ 3 – 1425 × 321 + √961 = ?
7854 × 183 – 1425 × 321 + 31 = ?
1,437,282 – 457,425 + 31
979,857 + 31
Ans. 9,79,888

Q.15 (10)² + (7)³ + (81)¼ = X² + 5
A. 25
B. 22
C. 21
D. 23

हल:- प्रश्ननानुसार,
(10)² + (7)³ + (81)¼ = X² + 5
100 + 343 + 3 = X² + 5
X² = 100 + 343 + 3 – 5
X² = 446 – 5
X² = 441
441, 21 का वर्ग होता हैं।
21² = 441
Ans. 21

Q.16 √( x% का 325 ) = 26 का मान कितना होगा?
A. 212
B. 208
C. 210
D. 211

हल:- प्रश्ननानुसार,
√( x% का 325 ) = 26
√(x/100 × 325) = 26
1/10 √(x × 325) = 26
√(x × 325) = 260
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
(√x × 325)² = (260)²
x × 325 = 67600
x = 67600/325
x = 208
Ans. 208

Q.17 3 ÷ [ ( 8 – 5 ) ÷ { ( 4 – 2 ) ÷ ( 2 + 8/13 ) } ] का मान क्या होगा?
A. 13/71
B. 55/17
C. 1/2
D. 13/17

हल:- प्रश्ननानुसार,
3 ÷ [ ( 8 – 5 ) ÷ { ( 4 – 2 ) ÷ ( 2 + 8/13 ) } ] = ?
? = 3 ÷ [ ( 8 – 5 ) ÷ { ( 4 – 2 ) ÷ ( 26 + 8)/13 } ]
? = 3 ÷ [ ( 8 – 5 ) ÷ { ( 4 – 2 ) ÷ 34/13 } ]
? = 3 ÷ [ ( 8 – 5 ) ÷ { 2 × 13/34 }]
? = 3 ÷ [ ( 8 – 5 ) ÷ 13/17 ]
? = 3 ÷ [3 × 17/13 ] = 3 ÷ 51/13 = 3 × 13/51 = 13/17
? = 13/17
Ans. 13/17

Q.18 10 – [ 6 – { 7 – ( 6 – 8 – 5 ) } ] = ?
A. 8
B. 18
C. 7
D. 17

हल:- प्रश्ननानुसार,
10 – [ 6 – { 7 – ( 6 – 8 – 5 ) } ] = ?
? = 10 – [ 6 – { 7 – ( 6 – 13 } ]
? = 10 – [ 6 – { 7 – (-7) } ]
? = 10 – [ 6 – {14} ]
? = 10 – [-8]= 18
? = 18
Ans. 18

Q.19= 1[+1-{-1-(-1-1-1-1)-1}×-1]
A. 0
B. -1
C. +1
D. -2

हल:- प्रश्ननानुसार,
1[+2-{-1-(-2-2)-1}×-2]
1[+1-{-1-(-1+1-1+1)-1}×-1]
1[+1-{-1-(0)-1}×-1]
1[+1-{-2}×-1]
1[+1+2×-1]
1[+1-2]
1×-1= -1
Ans. -1

Q.20 3/8 – [3/4 -{1/2 – (-1/4 + 1/8)}] का मान निकालिए?
A. 3/4
B. 3/8
C. 1/2
D. 3/4

हल:- प्रश्ननानुसार,
3/8 – [3/4 -{1/2 – (-1/4 + 1/8)}]
3/8 – [3/4 -{1/2 – (-3/8)}]
3/8 – [3/4 -{1/2 + 3/8}]
3/8 – [3/4 – {7/8}]
3/8 – [3/4 – 7/8]
3/8 – [-1/8]
3/8 + 1/8
(3 + 1)/8
4/8
Ans. 1/2

Q.21 ⅜-[¾-{½-(-¼+⅛)}] का मान निकालिए?
हल:- ⅜-[¾-{½-(-¼+⅛)}]
⅜-[¾-{½-(-⅜)}]
⅜-[¾-{½+⅜}]
⅜-[¾-{7/8}]
⅜-[¾-7/8]
⅜-[-⅛]
⅜+⅛ = ½
Ans. ½

Q.22 यदि a + b = 13 तथा 4ab = 144 हो, तो a – b का मान होगा?
A. 6
B. 4
C. 5
D. 7

हल:- प्रश्ननानुसार,
(a – b)² = (a + b)² – 4ab
(a – b)² = (13)² – 144
(a – b)² = 169 – 144
(a – b)² = 25
(a – b) = √25
(a – b) = 5
Ans. 5

Q.23 यदि x + y = 70 तथा x – y = 10 हो, तो 1/x + 1/y का मान होगा?
A. 1/70
B. 7/70
C. 7/12
D. 7/120

हल:- प्रश्ननानुसार,
x + y = 70………(1)
x – y = 10 ………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) को जोड़ने पर
2x = 80
x = 40
समीकरण (1) व समीकरण (2) को घटाने पर
2y = 60
y = 30
1/x + 1/y
1/40 + 1/30
(3 + 4)/120
Ans. 7/120

Q.24 यदि (30)² – (20)² = 10x, तो x = ?
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60

हल:- प्रश्ननानुसार,
(30)² – (20)² = 10x, तो x = ?
900 – 400 = 10x
500 = 10x
x = 500/10
x = 50

Ans. 50

Q.25 यदि x/2y = 6/7 हो, तो [ (-y + x)/(2y + x) + 4/13] का मान होगा?
A. 5/14
B. 1/2
C. 9/14
D. 1

हल:- प्रश्ननानुसार,
[(-y + x)/(2y + x) + 4/13]
x/2y = 6/7
x = 6 तथा 2y = 7 या y = 7/2
[(-y + x)/(2y + x) + 4/13].………(1)
समीकरण में x तथा y के मान रखने पर
[(-7/2 + 6)/(7 + 6) + 4/13]
[(-7 + 12)/2 / 13 + 4/13]
5/2 / 13 + 4/13
5/2 × 1/13 + 4/13
5/26 + 4/13
(5 + 8)/26
13/26
Ans. 1/2

Q.26 a/b = 4/5 हो तो (3/5 + (b – a)/(b + a) का मान होगा?
A. 32/45
B. 16/57
C. 47/98
D. 67/97

हल:- प्रश्ननानुसार,
a/b = 4/5 हो तो 3/5 + (b – a)/(b + a)
a/b = 4/5
a = 4/5b
3/5 + (b – a)/(b + a)
3/5 + (b – 4/5b)/(b + 4/5a)
3/5 + (5b – 4b)/5 / (5b + 4b)/5
3/5 + (b/5 / 9b/5)
3/5 + b/5 × 5/9b
3/5 + 1/9
(27 + 5)/45
Ans. 32/45

Q.27 1/9 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 = ?
A. 1/2
B. 0
C. 1/9
D. 1/25

हल:- प्रश्ननानुसार,
1/9 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + 1/72 = ?
? = 1/9 + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + (1/5 – 1/6) + (1/6 – 1/7) + (1/7 – 1/8) + (1/8 – 1/9)
? = 1/2
Ans. 1/2

Q.28 1², 2², 3², 4², 5², 6² तथा 7² का माध्य हैं?
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40

हल:- प्रश्ननानुसार,
1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7²
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140
माध्य = 140/7
माध्य = 20
Ans. 20

Q.29 225 का 1/5, 60 के 3/5 से कितना अधिक हैं?
A. 9
B. 81
C. 19
D. 129

हल:- प्रश्ननानुसार,
225 × 1/5 – 60 × 3/5
45 – (12 × 3)
45 – 36
Ans. 9

Q.30 8 + 7.9 – {2.1 – 6.3 – (2.1 + 0.9) + 15.2} = ?
A. 2.1
B. 6.3
C. 7.9
D. 8.0

हल:- प्रश्ननानुसार,
8 + 7.9 – {2.1 – 6.3 – (2.1 + 0.9) + 15.2} = ?
8 + 7.9 – {2.1 – 6.3 – 3.0 + 15.2}
15.9 – 8.0
Ans. 7.9

Q.31 1 – [5 – {2 + (-5 + 6 – 2)2}] = ?
A. -4
B. 0
C. -2
D. 2

हल:- प्रश्ननानुसार,
1 – [5 – {2 + (-5 + 6 – 2)2}] = ?
1 – [5 – {2 + (6 – 7)2}] = ?
1 – [5 – {2 + (-1 × 2)}] = ?
1 – [5 – {2 – 2}] = ?
1 – [5 – 0] = ?
1 – 5 = ?
-4 = ?
Ans. -4

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