दशमलव भिन्न के सूत्र, नियम, महत्वपूर्ण सर्वसमिकाए और उदाहरण

इस पेज पर आप गणित के महत्वपूर्ण अध्याय दशमलव भिन्न को पड़ेंगे और साथ ही दशमलव भिन्न से संबंधित प्रश्नों को हल करना सीखेंगे।

इस टॉपिक से परीक्षा में प्रश्न पूछे जाते हैं इसमें आपको गणित की कुछ सर्वसमिकाए एवं महत्वपूर्ण सूत्र भी मिलेंगे जिनकी मदद से आप आसानी से प्रश्नों को हल कर पाएंगे।

दशमलव भिन्न (Decimal Fraction)

दशमलव युक्त संख्याओं को जब भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जाता हैं तो हमें दशमलव भिन्न प्राप्त होती हैं जिसका हर हमेशा 10 की घातों में रहता हैं।

जैसे :

दशमलव युक्त संख्याएँ	दशमलव भिन्न
0.3	3/10
0.03	3/100
0.0003	3/1000

1.03 – (1 + 0.3) – 1 + 3/100 – 103/100

दशमलव भिन्न से संबंधित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाए एवं सूत्र

• (a+b)² = a²+2ab+b²
• (a+b)² = (a-b)²+4ab
• (a-b)² = a²-2ab+b²
• (a-b)² = (a+b)²-4ab
• (a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
• (a+b)² – (a-b)² = 4ab(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
• (a+b)² – (a-b)² = a³+b³+3ab(a+b)
• (a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³
• (a-b)³ = a³+b³+3ab(a+b)
• (a+b)³ + (a-b)³ = 2(a³+3ab²)
• (a+b)³ + (a-b)³ = 2a(a²+3b²)
• (a+b)³ – (a-b)³ = 3a²b+2b³
• (a+b)³ – (a-b)³ = 2b(3a²+b²)
• a²-b² = (a-b)(a+b)
• a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
• a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
• a³-b³ = (a-b)³ + 3ab(a-b)
• (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
• (a+b+c)³ = a³+b³+c³+3(a+b)(b+c)(c+a)
• a³+b³+c³ = (a+b+c)³ – 3(a+b)(b+c)(c+a)
• (a+b+c+d)² = a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
• a³+b³+c³-3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
• x²+y²+z²-xy-yz-zx = ½[(x-y)²+(y-z)²+(z+x)²]
• a³+b³+c³-3abc = ½(a+b+c) [(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
• a²+b²+c²-ab-bc-ca = ½[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
• a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0
• ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) = -(a-b)(b-c)(c-a)
• a²(b²-c²)-b²(c²-a²)+c²(a²-b²) = (a-b)(b-c)(c-a)
• a+b = (a³+b³)/(a²+ab+b²)
• a – b = (a³-b³)/(a²+ab+b²)
• a+b+c = (a³+b³+c³-3abc)/(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
• (a+1/a)² = a²+1/a²+2
• (a²+1/a²) = (a+1/a)²-2
• (a-1/a)² = a²+1/a²-2
• (a²+1/a²) = (a-1/a)²+2
• (a³+1/a³ = (a+1/a)³-3(a+1/a)
• (a³-1/a³ = (a-1/a)³-3(a-1/a)

जरूर पढ़िए:

• त्रिकोणमिति
• क्षेत्रमिति
• समय दूरी और चाल

दशमलव की गिनती (Reading a Decimal)

दशमलव युक्त संख्याओं में दशमलव के दाई ओर की संख्याओं को हमेशा अलग-अलग करके पड़ा जाता हैं।

जैसे :

1. 4.578 को इस प्रकार पड़ा जाएंगा –
“चार दशमलव पाँच सात आठ

2. 0.003 को इस प्रकार पड़ा जाएगा –
“शून्य दशमलव शून्य-शून्य तीन

3. 438.070 को इस प्रकार पड़ा जाएगा –
“चार सौ अड़तीस दशमलव शून्य सात शून्य”

दशमलव के दाई तथा बाई ओर शून्यों का महत्व

दशललव के दाईं अथवा बाई ओर रखी गई शून्यों के बाद अगर कोई अंक नहीं हो, तो उन शून्यों का कोई महत्व नहीं होता हैं।

जैसे :
00000.367 – .367
435.00000 – 435.3

लेकिन बाईं ओर के शून्य के पहले या दाईं ओर के शून्य के बाद कोई अंक हो, तो उन सभी शून्य का महत्व होता हैं।

जैसे :
70000.345
435.000003

दशमलव युक्त संख्याओं को भिन्न में बदलना

नियम

दशमलव युक्त संख्या में दशमलव के बाईं ओर की संख्या को पूर्णाक तथा दशललव के दाईं ओर की संख्या को अंश के रूप में तथा प्रयोग होने वाले अंकों के बराबर 10 का घात करके हर बना लें।

जैसे :
2.25 पूर्णाक – 2
दशमलव के बाईं ओर की संख्या अंश – 25
दशमलव के दाईं ओर की संख्या हर – (10)²
अंश के अंको के बराबर 10 का घात
इस तरह भिन्न = पूर्णाक (अंश/हर)
इसमें पूर्णाक 2, अंश 25 एवं हर (10)²

Example. 10.55000 को भिन्न में बदलें।
हल:- 10.000 = 10000/1000 = 10/1

Example. 0.34569 को भिन्न में बदलें।
हल: 34569/(10)^5 = 34569/100000

Note : यहाँ दशललव के बाईं ओर कोई संख्या नहीं हैं अतः पूर्णाक के रूप में कोई भी संख्या नहीं होगी।

दशमलव भिन्नों को जोड़ना तथा घटाना

Example. 32.005 + 0.005 + 0.2 + 756 = ?
हल:- उपर्युक्त दी गई सभी संख्याओं को आमने सामने जोड़ लें।
32.005 + 0.005 + 0.2 + 756 = ?
Ans. 788.210

Example. 324.0357 – 32759672 = ?
Ans. 291.31602

दशमलव भिन्नों को गुणा करना

Example. 2.54 × 3.656
हल:-
नियम (a) दोनों संख्याओं में दशमलव का स्थान
गिनती कर लेते हैं तथा जोड़ लेते हैं।
2.54 = 2 स्थान
3.656 = 3 स्थान

Note : गिनती हमेशा दाईं ओर से करते हैं।

(b). अब सभी संख्याओं में से दशमलव को निकालकर साधारण ढंग से गुणा कर देते हैं।
जैसे:- 254 × 3656 = 928624

(c). अब प्राप्त गुणनफल में दाईं ओर से पाँच स्थान बाद दशमलव लगा देंगे।
अतः 2.54 × 3.656 = 9.28624

दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न से भाग देना

Example. 9.36/0.004 = ?

नियम :

(a). हर (दशमलव का स्थान) = 3
अंश (दशमलव का स्थान) = 2

(b). हर – अंश = 3 – 1 = 2

(c). दशमलव हटाकर साधारण विधि से हल करें।
जैसे: 936/4 = 234

(d). अब (+1) के लिए 234 पर एक शून्य रखें अतः परिणाम 2340 आया।

Note: (हर में दशमलव का स्थान – अंश में दशमलव का स्थान)

1. अगर धनात्मक आता हैं, तो प्राप्त संख्या पर शून्य देंगे।

जैसे:
2.4/0.0006 = ?
यहाँ, 4 – 1 = 3 फिर, 24/6 = 4
2.4/0.0006 = 4000

Note:- +3 के लिए तीन शून्य रखा गया।

2. लेकिन अगर ऋणात्मक आता हैं, तो उतना ही अंक पहले दशमलव डाला जाएगा।

जैसे:
0.00024/0.6 = ?
यहाँ, 1 – 5 = -4
फिर, 24/6 = 4
0.00024/0.6 = 0.0004

Note: 4 के लिए चार अंक पहले दशमलव डाला गया हैं।

Example. (3.43 × 0.216 × 25.6)/(0.07 × 0.08 × 12)

Step1. दशमलव की गिनती करके
हर – अंश = 5 – 6 = -1

Step2. (343 × 216 × 256)/(7 × 8 × 12) = 28224

Step3. (3.43 × 0.216 × 25.6)/

Step3. (3.43 × 0.216 × 25.6)/0.07 × 0.08 × 1.2 = 2822.4

Note: (-1) के लिए एक अंक पहले दशमलव दिया गया।

Example. यदि 1/36.18 = 0.0276 हो, तो 1/0.0003618 का मान क्या होगा?

हल: यहाँ 1/36.18 में दशमलव का स्थान (हर – अंश) = 2 – 0 = 2
फिर 1/0.0003618 में दशमलव का स्थान
= 7 – 0
= 7
अतः (+5) के लिए पाँच शून्य और रखे जाएंगे।
1/0.0003618
= 0.0276 × 100000
= 2760

Example. यदि 1/36.18 = 0.0276 हो, तो 1/3618 का मान ज्ञात करें?
हल: यहाँ 1/36.18 में दशमलव का स्थान (हर – अंश) = 2 – 0 = 2
और फिर 1/3618 = 0 – 2 = -2
(-2) के लिए हम परिणाम में 2 अंक पहले दशमलव बैठा देंगे।
1/3618 = 0.000276

आवृर्त दशमलव (Recurring Decimal)

ऐसी दशमलव भिन्ने जिनमें दशमलव के बाद एक या अधिक अंको की लगातार पुनरावृत्ति हो, तो उसे आवर्त दशमलव भिन्न कहते हैं।
आवर्त दशमलव को व्यक्त करने के लिए पुनरावृत्त अंकों के सबसे पहले तथा अंतिम अंक के ऊपर बिंदु लगाते हैं या आवृत अंकों पर रेखा खींच देते हैं।

जैसे: 5/3 = 1.6666 ……1.6 = 1.6 = 1.6̅

जरूर पढ़िए :

• अनुपात और समानुपात
• लघुत्तम समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक

दशमलव भिन्न से संबंधित महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर

Q.1 1376.23 – ? = 841.474 – 149.031
A. 685.787
B. 785.767
C. 681.387
D. 683.787

हल: प्रश्ननानुसार,
1376.23 – ? = 841.474 – 149.031
1376.23 + 149.031 – 841.474
1525.261 – 841.474
Ans. 683.787

Q.2 25.0025/0.025 किसके बराबर हैं?
A. 1.01
B. 10.1
C. 101
D. 1001

हल: प्रश्ननानुसार,
25.0025/0.025
250025000/250000
1001/100
Ans. 10.1

Q.3 0.05 × 0.09 × 5 = ?
A. 0.005
B. 0.0225
C. 0.025
D. 0.225

हल: प्रश्ननानुसार,
0.05 × 0.09 × 5
0.0225
Ans. 0.0225

Q.4 1 × 0.1 × 0.01 × 0.001 का मान हैं?
A. 0.00001
B. 1.00001
C. 0.000001
D. 1.1

हल: प्रश्ननानुसार,
1 × 0.1 × 0.01 × 0.001
0.000001
Ans. 0.000001

Q.5 2 × 0.02 × 0.002 = ?
A. 0.00008
B. 0.000008
C. 0.0008
D. 0.008

हल: प्रश्ननानुसार,
2 × 0.02 × 0.002 = ?
2 × 0.00004
Ans. 0.00008

Q.6 0.02 + 0.1 + 0.121 का मान हैं?
A. .024
B. 0.204
C. 0.042
D. 0.241

हल: प्रश्ननानुसार,
0.02 + 0.1 + 0.121
Ans. 0.241

Q.7 8 + 7.9 – [2.1 – 6.3 – (2.1 + 0.9) + 15.2] = ?
A. 2.1
B. 6.3
C. 7.9
D. .8.0

हल: प्रश्ननानुसार,
8 + 7.9 – [2.1 – 6.3 – (2.1 + 0.9) + 15.2] = ?
8 + 7.9 – [2.1 – 6.3 – 3.0 + 15.2]
15.9 – 8.0
Ans. 7.9

Q.8 0.2 + 0.2 – 0.2 ÷ 0.2 × (0.2 × 0.2) को सरल करने पर प्राप्त होगा?
A. 0.04
B. 0.36
C. 0.2
D. 1

हल: प्रश्ननानुसार,
0.2 + 0.2 – 0.2 ÷ 0.2 × (0.2 × 0.2)
0.2 + 0.2 – 0.2 ÷ 0.2 × 0.04
0.2 + 0.2 – 0.2 × 1/0.2 × 0.04
0.2 + 0.2 – 0.04
0.4 – 0.04
Ans. 0.36

Q.9 2.002 + 7.9 [2.8 – 6.3 (3.6 – 1.5) + 15.6] = ?
A. 2.002
B. 4.2845
C. 40.843
D. 42.845

हल: प्रश्ननानुसार,
2.002 + 7.9 [2.8 – 6.3 (3.6 – 1.5) + 15.6] = ?
= 2.002 + 7.9 [2.8 – 6.3 × 2.1 + 15.6]
= 2.002 + 7.9 [2.8 – 13.23 + 15.6]
= 2.002 + 7.9 × 5.17
= 2.002 + 40.843
Ans. 42.845

Q.10 432.4 + 53.6 ÷ 6.7 = ?
A. 438.4
B. 441.4
C. 440.4
D. 439.7

हल: प्रश्ननानुसार,
432.4 + 53.6 ÷ 6.7 = ?
432.4 + 53.6 × 1/6.7 = ?
432.4 + 8
Ans. 440.40

Q.11 50/0.2 ÷ 0.5/5 = ?
A. 2500
B. 250
C. 5000
D. 350

हल: प्रश्ननानुसार,
50/0.2 ÷ 0.5/5 = ?
500/2 ÷ 5/50
250 ÷ 1/10
250 × 10
Ans. 2500

Q.12 सरल करने पर 1/0.04 का मान हैं?
A. 5/2
B. 25
C. 2/5
D. 1/40

हल: 1/0.04
100/4
Ans. 25

Q.13 5400 ÷ 0.9 ÷ 0.3 = ?
A. 0.0002
B. 20000
C. 0.02
D. 2.002

हल: प्रश्ननानुसार,
5400 ÷ 0.9 ÷ 0.3 = ?
5400 × 1/0.9 × 1/0.3
5400/0.27
540000/27
Ans. 20000

Q.14 6.5 ÷ 0.0005 = ?
A. 1300
B. 0.0013
C. 130
D. 13000

हल: प्रश्ननानुसार,
6.5 ÷ 0.0005 = ?
6.5/0.0005 = ?
(6.5 × 10000)/5 = ?
Ans. 13000

Q.15 22.22222 ÷ 50 = ?
A. 0.444444
B. 0.4444444
C. 0.44444
D. 0.04444444

हल: प्रश्ननानुसार,
22.22222 ÷ 50 = ?
22.22222/50 = ?
0.4444444 = ?
Ans. 0.4444444

Q.16 70.007 ÷ 0.07 = ? × 10
A. 10.01
B. 1000.1
C. 100.01
D. 100.1

हल: प्रश्ननानुसार,
70.007 ÷ 0.07 = ? × 10
70.007 × 1/0.07 = ? × 10
70007/1000 × 100/7 × 1/10 = ?
1001/100 = ?
Ans. 10.01

Q.17 √(0.081 × 0.484)/(0.0064 × 6.25)
A. 0.9
B. 0.99
C. 9
D. 99

हल: प्रश्ननानुसार,
√(0.081 × 0.484)/(0.0064 × 6.25)
√(81 × 484)/(64 × 625)
(9 × 22)/(8 × 25)
198/200
Ans. 0.99

Q.18 साधारण भिन्न 105/100 किस दशमलव भिन्न के बराबर हैं?
A. 1.005
B. 1.05
C. 0.15
D. 1.5

हल: प्रश्ननानुसार,
105/100
1.05
Ans. 1.05

Q.19 10.5 का 2/3, 10.05 का 3/5 से कितना अधिक हैं?
A. 0.97
B. 0.7
C. 0.7
D. 0.87

हल: प्रश्ननानुसार,
10.5 × 2/3 – 3/5 × 10.05
7 – 603
Ans. 0.97

Q.20 यदि √15 = 3.87 हो तो √5/3 बराबर हैं?
A. 0.43
B. 1.63
C. 1.89
D. 1.29

हल: प्रश्ननानुसार,
√5/3 = √(5 × 3)/(3 × 3)
= √15/9
√15 = 3.87 (दिया हैं)
= 3.87/3
= 387/300
Ans. 1.29

Q.21 (2.5)² – (1.5)² / 2.5 + 1.5 = ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

हल: प्रश्ननानुसार,
a² – b² / (a – b)
(a – b)(a + b)/(a + b)
(a – b)
(2.5 – 1.5)
Ans. 1

Q.22 (7.84 × 7.84 – 2.16 × 2.16) / (7.84 – 2.16) ÷ 0.5
A. 4
B. 5
C. 6
D. 20

हल: प्रश्ननानुसार,
(7.84 × 7.84 – 2.16 × 2.16) / (7.84 – 2.16) ÷ 0.5
(a² – b²) / (a – b)
(a – b)(a + b)/(a – b)
(a + b)
(7.84 + 2.16) ÷ 0.5
10 × 1/0.5
10 × 10/5
Ans. 20

Q.23 (5.4 × 5.4 – 3.6 × 3.6) / (5.4 + 3.6) = ?
A. 5.4
B. 1.8
C. 3.6
D. 9.00

हल: प्रश्ननानुसार,
(5.4 × 5.4 – 3.6 × 3.6) / (5.4 + 3.6) = ?
व्यंजक = (a² – b²) / (a + b)
(a + b)(a – b)/(a + b)
(a – b)
(5.4 – 3.6)
Ans. 1.8

Q.24 (67.542 + 32.458)(67.542 – 32.458) / (75.458 – 40.364) = ?
A. 100
B. 0.01
C. 0.100
D. 1.000

हल: प्रश्ननानुसार,
(67.542 + 32.458)(67.542 – 32.458) / (75.458 – 40.364)
(100 × 35.084)/35.084
Ans. 100

Q.25 (0.25 × 0.25 – 0.24 × 0.24)/0.49 का मान हैं?
A. 0.01
B. 0.49
C. 0.001
D. 0.08

हल: प्रश्ननानुसार,
(0.25 × 0.25 – 0.24 × 0.24)/0.49
व्यंजक = (a² – b²) / (a + b)
(a – b)(a + b) / (a + b)
(a – b)
(0.25 – 0.24)
Ans. 0.01

Q.26 (0.5)³ + (0.6)³ / (0.5)² – (0.3) + (0.6)² का मान हैं?
A. 0.11
B. 3.3
C. 1.1
D. 0.33

हल: प्रश्ननानुसार,
(0.5)³ + (0.6)³ / (0.5)² – (0.3) + (0.6)²
व्यजंक = (a² + b²) / (a² – ab + b²)
= (a + b)
a = 0.5, b = 0.6
(0.5 + 0.6)
Ans. 1.1

Q.27 यदि √2916 = 54 हो तो √29.16 + √0.2916 + √0.002916 + √0.00002916 का मान होगा?
A. 6.9649
B. 5.9994
C. 59.994
D. 69.995

हल: प्रश्ननानुसार,
√29.16 + √0.2916 + √0.002916 + √0.00002916
दिया हैं – √2916 = 54
5.4 + 0.54 + 0.054 + 0.0054
Ans. 5.9994

Q.28 22.2222 ÷ 50 = ?
A. 0.4444444
B. 0.55444
C. 0.09999
D. 0.008999

हल: प्रश्ननानुसार,
22.2222 ÷ 50 = ?
222222/10000 × 1/50 = ?
? = 0.4444444
Ans. 0.44444444

Q.29 0.939 ÷ 9.39 ÷ 0.001 = ?
A. 0.1
B. 10
C. 100
D. 1000

हल: प्रश्ननानुसार,
0.939 ÷ 9.39 ÷ 0.001 = ?
0.939 × 1/9.39 × 1/0.001 = ?
939/1000 × 100/939 × 1000/1 = ?
? = 100
Ans. 100

Q.30 6.5 ÷ 0.0005 = ?
A. 1300
B. 0.0013
C. 130
D. 13000

हल: प्रश्ननानुसार,
6.5 ÷ 0.0005 = ?
6.5/0.0005 = ?
(6.5 × 10000)/5 = ?
? = 13000
Ans. 13000

जरूर पढ़िए :

• प्रतिशत
• लाभ हानि
• साधारण ब्याज
• चक्रवृद्धि ब्याज

इस पेज पर आपने दशमलव भिन्नों के बारे में पड़ा जिसमें दशमलव भिन्न की परिभाषा, महत्वपूर्ण सूत्र, एवं दशमलव भिन्न से संबंधित प्रश्न एवं उनके हल दिए गए हैं जो परीक्षा की दृष्टि से जरूरी हैं।

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