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चलिए अब वर्ग की जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।
वर्ग किसे कहते हैं
चार भुजाओं से घिरी वह आकृति जिसकी चारो भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण अर्थात 90° का हो, उसे वर्ग कहते हैं।
दूसरे शब्दों में, ऐसी आकृति जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हो तथा प्रत्येक कोण समकोण हो एवं चारों भुजाओं का योग 360° हो वर्ग कहलाता हैं।
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
वर्ग के गुणधर्म
- वर्ग की चारों भुजाएं समान होती हैं।
- चारों कोण समकोण होते हैं।
- वर्ग में भुजाओं की संख्या 4 होती हैं।
- इसमें विकर्ण की संख्या 2 होती हैं।
- वर्ग के दोनों विकर्ण सामान होते हैं।
- दोनों विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
- आमने सामने की भुजाएं बराबर और समांतर होती हैं।
- वर्ग एक चक्रीय चतुर्भुज होता हैं।
- वर्ग एक आयत भी होता हैं।
- वर्ग एक समांतर चतुर्भुज भी होता हैं।
वर्ग के सूत्र
- वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = a²
- वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्णो का गुणनफल) = ½ × AC × BD
- वर्ग की परिमिति = 4 × a
- वर्ग का विकर्ण = एक भुजा × √2 = a × √2
- वर्ग का विकर्ण = √2 × वर्ग का क्षेत्रफल
वर्ग के उदाहरण
Q.1 एक वर्ग का विकर्ण 6 मीटर हैं। उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 9 वर्ग मीटर
B. 12 वर्ग मीटर
C. 18 वर्ग मीटर
D. 36 वर्ग मीटर
हल:- प्रश्नानुसार,
वर्ग का क्षेत्रफल = ½ (विकर्ण)²
= ½ × (6)²
= ½ × 6 × 6
= 6 × 3
= 18
Ans. 18 वर्ग मीटर
Q.2 एक वर्ग का विकर्ण 12 मीटर हैं। उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 9 वर्ग मीटर
B. 18 वर्ग मीटर
C. 36 वर्ग मीटर
D. 72 वर्ग मीटर
हल:- प्रश्नानुसार,
वर्ग का क्षेत्रफल = ½ (विकर्ण)²
= ½ × (12)²
= ½ × 12 × 12
= 12 × 6
= 72
Ans. 72 वर्ग मीटर
Q.3 उस वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा जिसके विकर्ण की लंबाई 8 सेंटीमीटर हैं?
A. 28 सेंटीमीटर
B. 32 सेंटीमीटर
C. 8 सेंटीमीटर
D. 18 सेंटीमीटर
हल:- क्षेत्रफल = d²/2
क्षेत्रफल = 8²/2
= (8 × 8)/2
= 8 × 4
= 32
Ans. 32 सेंटीमीटर।
Q.4 उस वर्ग का क्षेत्रफल कितना होगा जिसके विकर्ण की लंबाई 24 सेंटीमीटर हैं?
A. 288 सेंटीमीटर
B. 324 सेंटीमीटर
C. 128 सेंटीमीटर
D. 245 सेंटीमीटर
हल:- क्षेत्रफल = d²/2
क्षेत्रफल = 24²/2
= (24 × 24)/2
= 24 × 12
= 288
Ans. 288 सेंटीमीटर।
Q.5 किसी वर्गाकार खेत का विकर्ण 110 मीटर हैं। इसका क्षेत्रफल हैं?
A. 6050 मीटर²
B. 2100 मीटर²
C. 6000 मीटर²
D. 1200 मीटर²
हल:- प्रश्नानुसार,
माना वर्गाकार खेत की एक भुजा = x
x² + x² = 110²
2x² = 110 × 110
x² = 55 × 110
x² = 6050 वर्गमीटर
Ans. 6050 वर्गमीटर
Q.6 एक वर्ग का विकर्ण 90 मीटर लम्बा हैं वर्ग का क्षेत्रफल होगा?
A. 8100 वर्ग मीटर
B. 4050 वर्ग मीटर
C. 180√2 वर्ग मीटर
D. 90√2 वर्ग मीटर
हल:- प्रश्नानुसार,
वर्ग का क्षेत्रफल = (90)²/2
= 8100/2
= 4050
Ans. वर्ग मीटर
Q.7 एक वर्ग तथा आयत दोनों के परिमाप 48 मीटर हैं। दोनों के क्षेत्रफल में 4 वर्ग मीटर का अंतर हैं। आयत की माप (मीटर में) हैं?
A. 20, 4
B. 18, 6
C. 14, 10
D. 22, 17
हल:- माना आयत की लम्बाई x मीटर हैं।
आयत की चौड़ाई = (24 – x) मीटर
तथा वर्ग की एक भुजा = 48/4
= 12 मीटर
प्रश्नानुसार,
(12)² – x (24 – x) = 4
144 – 24x + x² = 4
x² – 24x + 140 = 0
x² – 14x – 10x + 140 = 0
x(x – 14) – 10 (x – 14) = 0
(x – 14)(x – 10) = 0
x – 14 = 0, x – 10 = 0
x = 14, x = 10
x = 14, 10
अतः आयत की माप 14 मीटर और 10 मीटर हैं।
Ans. 14, 10
Q.8 किसी वर्ग का परिमाप वही हैं, जो एक ऐसी आयत का हैं जिसकी लम्बाई 48 मीटर है और उसकी चौड़ाई की तिगुनी हैं। उस वर्ग का क्षेत्रफल हैं?
A. 256 वर्ग मीटर
B. 350 वर्ग मीटर
C. 450 वर्ग मीटर
D. 600 वर्ग मीटर
हल:- प्रश्नानुसार,
आयत की लम्बाई = 48 मीटर
चौड़ाई = 48/3
= 16 मीटर
आयत का परिमाप = (48 + 16)
= 64 मीटर
वर्ग की एक भुजा = 64/4
= 16 मीटर
वर्ग का क्षेत्रफल = a²
16 × 16
= 256
Ans. 256 वर्ग मीटर
Q.9 दो वर्गों के परिमाप 40 सेंटीमीटर और 32 सेंटीमीटर हैं। उस तीसरे वर्ग का परिमाप जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वर्गों के क्षेत्रफल का अंतर निम्न हैं?
A. 24 सेंटीमीटर
B. 43 सेंटीमीटर
C. 40 सेंटीमीटर
D. 20 सेंटीमीटर
हल:- प्रश्नानुसार,
तीसरे वर्ग का क्षेत्रफल = (40/4)² – (32/4)²
= 36 वर्ग सेंटीमीटर
तीसरे वर्ग का परिमाप = 4 × √36
= 24
Ans. 24 सेंटीमीटर
Q.10 यदि दो वर्गों के क्षेत्रफल में अनुपात 25 : 36 हैं तो उनके परिमापों में अनुपात होगा?
A. 25 : 36
B. 5 : 6
C. 36 : 25
D. 6 : 5
हल:- प्रश्नानुसार,
वर्ग की भुजाओं का अनुपात = √25/√30 = 5/6
परिमापों में अनुपात = 5 × 4/6 × 4
= 5 : 6
Ans. 5 : 6
Q.11 यदि किसी वर्ग के विकर्ण की लम्बाई तथा एक दूसरे वर्ग की भुजा की लम्बाई में से प्रत्येक 10 सेंटीमीटर हो, तो पहले वर्ग के क्षेत्रफल का दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात होगा?
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 3 : 2
D. 2 : 3
हल:- प्रश्नानुसार,
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = ½ (10)² = 50
तथा दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = (10)² = 100
अनुपात = 50 : 100
= 1 : 2
Ans. 1 : 2
Q.12 एक वर्ग की परिमाप 24 मीटर हैं और दूसरे वर्ग की परिमाप 32 मीटर हैं। एक वर्ग जिसका क्षेत्रफल दोनों वर्गों के क्षेत्रफल के बराबर हो परिमाप होगा?
A. 40 मीटर
B. 20 मीटर
C. 30 मीटर
D. 50 मीटर
हल:- प्रश्नानुसार,
24 मीटर परिमाप वाले वर्ग की भुजा = 24/4
= 6 मीटर
32 मीटर परिमाप वाले वर्ग की भुजा = 32/4
= 8 मीटर
दोनों वर्गों का क्षेत्रफल = 6² + 8²
= 36 + 64
= 100 वर्ग मीटर
तीसरे वर्ग का क्षेत्रफल = 100 मीटर
भुजा = 10 मीटर
परिमाप = 4 × 10
= 40 मीटर
Ans. 40 मीटर
Q.13 यदि किसी वर्ग के विकर्ण को दुगुना कर दिया जाए और इसे एक नया वर्ग बनाया जाए तो नए बने वर्ग का क्षेत्रफल होगा?
A. दुगुना
B. तीन गुना
C. चार गुना
D. पाँच गुना
हल:- प्रश्नानुसार,
माना वर्ग की एक भुजा = x
विकर्ण = √2x
विकर्ण = 2√2x
माना नए वर्ग की एक भुजा = y
2√2x = √2y
Y = 2x
अतः नए वर्ग का क्षेत्रफल = y²
= 2x²
= 4x
अर्थात चार गुना हो जाएगा।
Q.14 किसी वर्ग के विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल मूल वर्ग के क्षेत्रफल का कितना गुना होगा?
A. चौगुना
B. दुगुना
C. आधा
D. तिगुना
हल:- प्रश्नानुसार,
वर्ग का क्षेत्रफल = a²
विकर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल = (√2a)²
= 2a
अतः दुगुना होगा।
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