इस पेज पर आप गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय लघुगणक की सम्पूर्ण जानकारी पड़ेगें।
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चलिए इस पेज पर लघुगणक की समस्त जानकारी को पढ़ते और समझते हैं।
लघुगणक किसे कहते हैं
किसी धनात्मक संख्या का लघुगणक जिसका आधार इकाई को छोड़कर कोई दूसरी धनात्मक संख्या की घात का घातांक हैं जिसे यदि आधार पर रखा जाए तो उसका मान अभीष्ट संख्या के बराबर हो जाए उसे लघुगणक कहते हैं।
उदाहरण :- 10 आधार पर 100000 (एक लाख) का लघुगणक 5 होगा क्योंकि आधार 10 पर 5 घात लगाने से उसका मान 100000 हो जाता हैं।
अर्थात किसी संख्या x, आधार b और घातांक n, के लिए
यदि a, x, N तीन ऐसी संख्याएँ हो कि a^x = N (a > 0, a ≠ 1) तो घातांक x आधार a पर N का लघुगणक कहलाता हैं।
x = logₐ N
विशेष परिस्थितियाँ :-
(i). यदि आधार शून्य को जोड़कर कोई परिमिति राशि हो तो 1 का लघुगणक सदैव शून्य के बराबर होता हैं।
∵ a⁰ = 1,
∴ logₐ 1 = 0
(ii). किसी संख्या का लघुगणक जिसका आधार वही संख्या हो 1 के बराबर होता हैं।
∵ a¹ = a,
∴ logₐ a = 1
लघुगणक के सूत्र
- logₐ (m × n) = logₐ m + logₐ n
- logₐ m/n = logₐ m – logₐ n
- logₐ mⁿ = n logₐ m
- logₐ a = 1/logₐ b
- logₐ a = log a/log b
- log₍ₐⁿ₎ N = ¹⁄n.logₐ N [यदि a>0]
- loge m = 2.3026 log₁₀ m
- log₁₀ m = 0.4343 logₑ m
लघुगणकीय श्रेणी
- logₑ (1 + x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 +……………….
- logₑ (1 – x) = -[x + x²/2 + x³/3 + x⁴/4 +……………….
- logₑ (1 + x) / (1 – x) = 2 [x + x³/3 + x⁵/5 +……………….
लघुगणक के सूत्र निकालने का तरीका
नियम 1. किन्हीं दो संख्याओं x एवं y के गुणा का लघुगणक इन दो संख्याओं के लघुगणकों के योग के बराबर होता हैं।
- logₐ (x × y) = logₐ x + logₐ y
नियम 2. दो संख्याओं का भाग उनके लघुगणक के अंतर का प्रतिलघुगणक के बराबर होगा।
- log x/y = log x – log y
नियम 3. किसी एक संख्या का दूसरे आधार के लिए लघुगणक उसी संख्या के किसी भी आधार से निर्धारित किया जा सकता है।
- loga x = logb x × loga b
- logb x = loga x / loga b
नियम 4. किसी एक निश्चित घात तक बड़ाई गयी संख्या का लघुगणक, उस संख्या के लघुगणक को घात सूचकांक से गुना करने पर आने वाली संख्या के बराबर है। इन दोनों संख्याओं का आधार समान होता हैं।
- logb xn = n logb x
लघुगणक के भाग
किसी भी संख्या के लघुगणक के दो भाग होते हैं।
- पूर्णांश (Integer)
- अपूर्णांश (Mantissa)
1. पूर्णांश (Integer)
पूर्णांश लघुगणक का पूर्ण भाग होता है। यह धनात्मक अथवा ऋणात्मक हो सकता है।
- धनात्मक पूर्णांश
- ऋणात्मक पूर्णांश
(a). धनात्मक पूर्णांश:- यदि किसी संख्या का मान एक से अधिक है, तो उसके लघुगणक का पूर्णांश धनात्मक होता हैं। तथा इसका मान उस संख्या में दशमलव के बायीं ओर के अंकों की संख्या से एक कम होता हैं।
धनात्मक पूर्णांश के उदाहरण :-
- 4345 का पूर्णांश 3 होगा।
- 434.5 का पूर्णांश 2 होगा।
- 43.45 का पूर्णांश 1 होगा।
- 4.345 का पूर्णांश 0 होगा।
(b). ऋणात्मक पूर्णांश:- यदि किसी संख्या का मान एक से कम हो तो उसके लघुगणक का पूर्णांश ऋणात्मक होता हैं। तथा उसका मान संख्या में दशमलव के दाहिनी ओर स्थित शून्यों की संख्या से एक अधिक होता हैं।
ऋणात्मक पूर्णांश के उदाहरण :-
- 0.4212 का पूर्णांश -1 है तथा इसे 1 (बार 1) लिखा जाता हैं।
- 0.04212 का पूर्णांश +2 है तथा इसे 2 (बार 2) लिखा जाता हैं।
2. अपूर्णांश (Mantissa)
अपूर्णांश का मान हमेशा धनात्मक होता है। किसी संख्या के लघुगणक के दशमलव भाग को अपूर्णांश कहते हैं।
लघुगणक के उदाहरण
Q.1 log₂₅ 125 – log₈ 4 का मान होगा?
A. ²⁄₃
B. ³⁄₂
C. ⁵⁄₆
D. ⅗
हल:- प्रश्नानुसार,
log₂₅ 125 – log₈ 4
log 125/log 25 – log 4/log 8
log 5³/log5² – log2²/log2³
³⁄₂ − ²⁄₃
⁽⁹ ⁻ ⁴⁾⁄₆
Ans. ⁵⁄₆
Q.2 यदि log₃ x = -2 तो x का मान होगा?
A. ¹⁄₉
B. ³⁄₂
C. ⅓
D. ½
हल:- प्रश्नानुसार,
log₃ x = -2
3⁻² = x
x = ⅓²
x = ¹⁄₉
Ans. ¹⁄₉
Q.3 log₁₂ 144 + log₁₃ 169 = ?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
हल:- प्रश्नानुसार,
log₁₂ 144 + log₁₃ 169 = ?
log₁₂ (12)² + log₁₃ (13)² = ?
2 + 2
4
Ans. 4
Q.4 log₁₀ 100 + log₁₀ 1000 का उत्पाद हैं?
A. 5
B. 10
C. 4
D. 5
हल:- प्रश्नानुसार,
log₁₀ 100 + log₁₀ 1000
log₁₀ (10)² + log₁₀ (10)³
2 + 3
5
Ans. 5
Q.5 log₁₀ 125 + log₁₀ 8 = x, यदि तो x = ?
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
हल:- प्रश्नानुसार,
log₁₀ 125 + log₁₀ 8 = x,
x = log₁₀ 125 + log₁₀ 8
x = log₁₀ (125 × 8)
x = log₁₀ 1000
x = log₁₀ 10²
x = 2
Ans. 2
Q.6 2log (¹¹⁄₁₃) + 2log (¹³⁰⁄₃₃) − log(⁴⁄₉) का मान हैं?
A. 2.4431
B. 2 log 2
C. log ²⁶⁄₁₁
D. 2 log 5
हल:- प्रश्नानुसार,
2log (¹¹⁄₁₃) + 2log (¹³⁰⁄₃₃) − log(⁴⁄₉)
log [(11×11)/(13×13) × (130×130)/(33×33) × (9/4)]
log 25
log 5²
Ans. 2 log 5
Q.7 ½log₁₀ 25 − 2log₁₀ 3 + log₁₀ 18 का सरलतम मान हैं?
A. 18
B. 4
C. log 10³
D. 1
हल:- प्रश्नानुसार,
½log₁₀ 25 − 2log₁₀ 3 + log₁₀ 18
log₁₀ 25½ − log₁₀ 3² + log₁₀¹⁸
log₁₀⁵ − log₁₀⁹ + log₁₀¹⁸
log₁₀ (5⁄₉ × 18)
log₁₀¹⁰ = 1
Ans. 1
Q.8 [log₁₀ 50 + log₁₀ 40 + log₁₀ 20 + log₁₀ (2.5)] = ?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 10
हल:- प्रश्नानुसार,
[log₁₀ 50 + log₁₀ 40 + log₁₀ 20 + log₁₀ (2.5)] = ?
log₁₀ (50 × 40 × 20 × 2.5)
log₁₀ 100000
log₁₀ 10²
5 × 1
Ans. 5
Q.9 log⁷⁵⁄₁₆− 2log⁵⁄₉ + log³²⁄₂₄₃ का मान होगा?
A. 0
B. 1
C. -1
D. log 2
हल:- प्रश्नानुसार,
log⁷⁵⁄₁₆ − 2log⁵⁄₉ + log³²⁄₂₄₃
log⁷⁵⁄₁₆ − log(⁵⁄₉)² + log³²⁄₂₄₃
log (75 × 81 × 32)/(16 × 25 × 243)
log 2
Ans. log 2
Q.10 यदि log₂ (x² − 4) = 5 हो, तो x का मान होगा?
A. 1
B. -1
C. 6
D. 2
हल:- प्रश्नानुसार,
log₂ (x² − 4) = 5
(x² − 4) = 2⁵
x² – 4 = 32
x² = 32 + 4
x² = 36
x = √36
x = 6
Ans. 6
आशा हैं लघुगणक की जानकारी आपको पसंद आयी होगी।
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