संख्या पद्धति किसे कहते है इसके प्रकार, सूत्र और सवाल

इस पेज पर हम गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय संख्या पद्धति की जानकारी को पढ़ेंगे।

पिछले पेज पर हम गणित के सूत्र शेयर कर चुके है उसे जरूर पढ़े।

चलिए इस पेज पर संख्या पद्धति की समस्त जानकारी पढ़ते और समझते हैं।

संख्या पद्धति किसे कहते हैं

संख्याओं को लिखने और संख्याओं के नामकरण को व्यवस्थित करने की प्रक्रिया को संख्या पद्धति कहते है।

संख्या पद्धति में हम 0 से लेकर अनत तक कि संख्याओं के बारे में पड़ते है और संख्याओं को किस तरह कितने वर्गों में बंटा गया है वह जानकारी समझकर संख्याओं का उपयोग करना सीखते है।

संख्या के प्रकार

मूलतः संख्याएँ 12 प्रकार की होती है।

1. प्राकृतिक संख्या : 1, 2, 3, 4, 5, ………
2. सम संख्या : 2, 4, 6, 8, 10, ………
3. विषम संख्या : 1, 3, 5, 7, 9, ………
4. पूर्णांक संख्या : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ………
5. पूर्ण संख्या : 0, 1, 2, 3, 4, ………
6. भाज्य संख्या : 4, 6, 8, 9, ………
7. अभाज्य संख्या : 2, 3, 5, 7, 11, ………
8. सह अभाज्य संख्या : (5, 7) , (2, 3)
9. परिमेय संख्या : √4, 7/5, 2/3, 3
10. अपरिमेय संख्या : √5, √7, √11, √13
11. वास्तविक संख्या : √4, √11, 4/7
12. अवास्तविक संख्या : √-6, √-5, √-29

नीचे हम संख्याओं के 12 प्रकारों को विस्तार में समझते हैं।

1. प्राकृतिक संख्याएँ

गिनती में उपयोग की जाने वाली सभी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं।

जैसे :- 1, 2, 3, 4, 5, ………

2. सम संख्याएँ

ऐसी प्राकृतिक संख्या जो 2 से पूर्णतः विभाजित होती हैं, उन्हें सम संख्याएँ कहा जाता हैं।

जैसे :- 2, 4, 6, 8, 10, ………

3. विषम संख्याएँ

ऐसी प्राकृतिक संख्या जो 2 से पूर्णतः से विभाजित न हो उन्हें विषम संख्याएँ कहते हैं।

जैसे :- 1, 3, 5, 7, 9, 11, ………

4. पूर्णांक संख्याएँ

धनात्मक, ऋणात्मक और जीरों से मिलकर बनी हुई संख्याएँ पूर्णांक संख्याएँ होती हैं।

पूर्णांक संख्याएँ तीन प्रकार की होती हैं।

1. धनात्मक संख्याएँ :- एक से लेकर अनंत तक की सभी धनात्मक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक हैं।

जैसे :- +1, +2, +3, +4, +5,………

2. ऋणात्मक संख्याएँ :- 1 से लेकर अनंत तक कि सभी ऋणात्मक संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

जैसे :- -1, -2, -3, -4, -5,………

3. उदासीन पूर्णांक :- ऐसा पूर्णांक जिस पर धनात्मक और ऋणात्मक चिन्ह का कोई प्रवाह ना पड़े। और यह जीरो होता हैं।

जैसे :- -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,………

5. पूर्ण संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ में 0 से शामिल कर लेने से पूर्ण संख्याएँ बनती हैं।

जैसे :- 0, 1, 2, 3, ………

6. भाज्य संख्या

ऐसी प्राकृत संख्या जो स्वंय और 1 से विभाजित होने के अतिरिक्त कम से कम किसी एक अन्य संख्या से विभाजित हो उन्हें भाज्य संख्याएँ कहते हैं।

जैसे :- 4, 6, 8, 9, 10, 12, ………

7. अभाज्य संख्याएँ

ऐसी प्राकृतिक संख्याएँ जो सिर्फ स्वंय से और 1 से विभाजित हो और किसी भी अन्य संख्या से विभाजित न हो उन्हें अभाज्य संख्याएँ कहेंगे।

जैसे :- 2, 3, 5, 11, 13, 17, ………

8. सह अभाज्य संख्या

कम से कम 2 अभाज्य संख्याओं का ऐसा समूह जिसका (HCF) 1 हो सह अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

जैसे :- (5, 7) , (2, 3)

9. परिमेय संख्याएँ

ऐसी सभी संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता हैं। उन्हें परिमेय संख्याएँ कहते है।

(q हर का मान जीरो नहीं होना चाहिए)

जैसे :- 5, 2/3, 11/4, √25

10. अपरिमेय संख्याएँ

ऐसी संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नही लिखा जा सकता और मुख्यतः उन्हें (”√”) के अंदर लिखा जाता हैं। और कभी भी उनका पूर्ण वर्गमूल नहीं निकलता अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं।

जैसे :- √3, √105, √11, √17,

नोट :- (π एक अपरिमेय संख्या हैं।)

11. वास्तविक संख्या

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को सम्मिलित रूप से लिखने पर वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती हैं।

उदाहरण :- √3, 2/5, √15, 4/11,

12. अवास्तविक संख्या (काल्पनिक संख्या)

ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल लेने पर जो संख्याएँ बनती हैं, उन्हें अवास्तविक संख्या कहते हैं।

जैसे :- √-2, √-5

यह एक काल्पनिक संख्या है जिसका वास्तविक नही होता है काल्पनिक संख्या को इकाई {\displaystyle i} से दर्शाया जाता हैं इसके गुण धर्म {\displaystyle i^{2} = -1} द्वारा परिभाषित किया है।

अवास्तविक संख्याएँ के बारे में अधिक जानकारी के लिए विकिपीडिया पर काल्पनिक संख्या के बारे में देखें।

संख्या पद्धति के सूत्र

• प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या / 2) × n
• लगातार प्राकृत संख्याओं के योग = n(n + 1)/2
• N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या / वर्ग अंतराल) + 1
• लगातार सम संख्याओं के योग = n/2 (n/2 + 1)
• लगातार विषम संख्याओं के योग = (n/2 + 1)²
• दो क्रमागत पदों का अंतर समान हो तो योग = पदों की संख्या (पहला पद + अंतिम पद)/2
• लगातार प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = n(n + 1)(2n + 1)/6
• लगातार प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = [n(n + 1)/2]²
• प्रथम से n तक कि सम संख्याओं का योग = n(n + 1)
• प्रथम से n तक कि विषम संख्याओं का योग = n²
• भागफल = भाज्य ÷ भाजक (पूर्ण विभाजन में)
• भाज्य = भागफल × भाजक (पूर्ण विभाजन में)
• भाजक = भाज्य ÷ भागफल (पूर्ण विभाजन में)
• भागफल = (भाज्य – शेषफल) ÷ भाजक (अपूर्ण विभाजन में)
• भाज्य = भागफल × भाजक + शेषफल (अपूर्ण विभाजन में)
• भाजक = (भाज्य – शेषफल) ÷ भागफल (अपूर्ण विभाजन में)

महत्वपूर्ण बिंदु

• संख्या 1 न तो भाज्य है और न अभाज्य
• ऐसी संख्या जो अभाज्य हो एवं सम संख्या हो केवल 2 है।
• वे दो अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच केवल एक सम संख्या होती है अभाज्य जोड़ा कहलाती है।
  जैसे :- 5 व 7, 3 व 5, 11 व 13, 17 व 19, 29 व 31 आदि।
• सभी प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय एवं वास्तविक होती हैं।
• सभी पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय एवं वास्तविक होती हैं।
• सभी पूर्णांक, परिमेय एवं वास्तविक होते हैं।
• सभी पूर्णांक, परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक होती हैं।
• अभाज्य (रूढ़) एवं यौगिक, सम तथा विषम संख्या होती हैं।
• सभी पूर्णांक, परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ ऋणात्मक एवं धनात्मक दोनों होती हैं।
• प्राकृत ( अभाज्य, यौगिक, सम एवं विषम ) एवं पूर्ण संख्याएँ कभी भी ऋणात्मक नहीं होती हैं।
• भिन्न संख्याएँ परिमेय होती हैं।
• 2 के अतिरिक्त सभी अभाज्य (रूढ़) संख्याएँ विषम होती हैं।
• 0 ऋणात्मक एवं धनात्मक नहीं है।
• शून्य (0) में किसी भी संख्या का भाग देने पर शून्य आता है अतः 0/a = 0 (यहाँ पर a वास्तविक संख्या है)
• किसी भी संख्या में शून्य का भाग देना परिभाषित नहीं है अर्थात् यदि किसी भी संख्या में शून्य का भाग देते हैं, तो भागफल अनन्त (Infinite या Non Defined) आता है, अतः a/0 = ∞ (Infinite)
• किसी संख्या में किसी अंक का जो वास्तविक मान होता है , उसे जातीय मान कहते हैं, जैसे: 5283 में 2 का जातीय मान 2 है।
• किसी संख्या में किसी अंक का स्थान के अनुसार जो मान होता है उसे उसका स्थानीय मान कहते हैं, जैसे – 5283 में 2 का स्थानीय मान 200 है।
• दो परिमेय संख्याओं का योगफल अथवा गुणन फल सदैव एक परिमेय संख्या होती है।
• दो अपरिमेय संख्याओं का योगफल अथवा गुणन फल कभी परिमेय संख्या तथा कभी अपरिमेय संख्या होता है।
• एक परिमेय संख्या तथा एक अपरिमेय संख्या का गुणन फल अथवा योगफल सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है।
• π एक अपरिमेय संख्या है।
• दो परिमेय संख्याओं या दो अपरिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ या अनन्त अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।
• परिमेय संख्या को दशमलव निरूपण या तो सीमित होता है या असीमित आवर्ती होता है, जैसे:- 3/4 = 0.75 ( सीमित ) 11/3 = 3.666 (असीमित आवर्ती)
• अपरिमेय संख्या का दशमलव निरूपण अनन्त व अनावर्ती होता है, जैसे:- √3, √2
• प्रत्येक सम संख्या का वर्ग एक सम संख्या होती है तथा प्रत्येक विषम संख्या का वर्ग एक विषम संख्या होती है।
• यदि दशमलव संख्याएँ 0.x तथा 0.xy के रूप में दी होती हैं , तो इन्हें परिमेय संख्या p/q के रूप में निम्नवत बदलते हैं।
  0.x = x/10 तथा 0.xy = xy/100 अर्थात् दशमलव के बाद 1 अंक है , तो 10 का , दो अंक हैं, तो 100 का, तीन अंक हैं, तो 1000 का भाग देने पर दशमलव संख्या परिमेय (भिन्न) बन जाती है।
• यदि अशान्त (अनन्त) आवर्ती दशमलव संख्याएँ 0.x तथा xy के रूप की हैं , तो इन्हें परिमेय संख्या p/q के रूप में निम्नवत बदलते हैं।
  0.x̅ = x/9 तथा 0. x̅ x̅ = xx/99 अर्थात् दशमलव के बाद 1 अंक बार सहित हो , तो 9 का , दो अंक बार सहित हों तो 99 का , तीन अंक हों तो 999 का भाग करके दशमलव संख्या परिमेय में बदल जाती है।
• यदि अशान्त आवर्ती दशमलव संख्याएँ 0.xy तथा 0.xyz के रूप की हों , तो इन्हें परिमेय संख्या p/q के रूप में निम्नवत बदलते हैं – 0.x̅y̅ (xy – x)/90 तथा 0.x̅y̅z̅ = (xyz – x)/990 (यहाँ x , y , z प्राकृतिक अंक हैं)
• किसी भी पहाड़े का योग उस संख्या (पहाड़े) के 55 गुने के बराबर होता है। अर्थात् n के पहाड़े का योगफल = 55n

संख्या पद्धति के सवाल

Q.1 1+2+3+4 ……… 58+59+60 = ?
A. 1830
B. 1900
C. 2400
D. 2860

हल:- प्रश्नानुसार,
1+2+3+4 ……… 58+59+60 = ?
अंतिम संख्या = 60
प्रथम संख्या = 1
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = ( 60 – 1 ) / 1 + 1
N = 59 + 1
N = 60
योग = ( पहली संख्या + अंतिम संख्या / 2 ) × n
योग = (1 + 60 ) / 2 × 60
योग = 61 × 60 / 2
योग = 61 × 30
योग = 1830

Ans. 1830

Q.2 1 से 72 तक की सभी संख्याओं का योग बताइए?
A. 2460
B. 2628
C. 2890
D. 3000

हल:- प्रश्नानुसार,
1 + 2 + 3 + 4 +…………….+ 70 + 71 + 72
पहली संख्या = 1
अंतिम संख्या = 72
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (72 – 1)/1 + 1
N = 71 + 1
N = 72
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (1 + 72)/2 × 72
योग = (73 × 72)/2
योग = 73 × 36
योग = 2628

Ans. 2628

Q.3 21 से 75 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग बताइए?
A. 2240
B. 2480
C. 2640
D. 2980

हल:- प्रश्नानुसार,
21 + 22 + 23 + …………….+ 73 + 74 + 75
पहली संख्या = 21
अंतिम संख्या = 75
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (75 – 21)/1 + 1
N = 54 + 1
N = 55
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (21 + 75)/2 × 55
योग = 96/2 × 55
योग = 48 × 55
योग = 2640

Ans. 2640

Q.4 32 से 96 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग बताइए?
A. 3500
B. 3587
C. 3879
D. 4160

हल:- प्रश्नानुसार,
32 + 33 + 34 + …………….+ 94 + 95 + 96
पहली संख्या = 32
अंतिम संख्या = 96
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (96 – 32)/1 + 1
N = 64 + 1
N = 65
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (32 + 96)/2 × 65
योग = 128/2 × 65
योग = 64 × 65
योग = 4160

Ans. 4160

Q.5 45 से 120 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग बताइए?
A. 6270
B. 5290
C. 6780
D. 5490

हल:- प्रश्नानुसार,
45 + 46 + 47 + …………….+ 118 + 119 + 120
पहली संख्या = 45
अंतिम संख्या = 120
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (120 – 45)/1 + 1
N = 75 + 1
N = 76
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (45 + 120)/2 × 76
योग = (165 × 76)/2
योग = 165 × 38
योग = 6,270

Ans. 6,270

Q.6 28 से 45 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग बताइएं?
A. 657
B. 720
C. 820
D. 900

हल:- प्रश्नानुसार,
28 + 29 + 30 + …………….+ 43 + 44 + 45
पहली संख्या = 28
अंतिम संख्या = 45
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (45 – 28)/1 + 1
N = 17 + 1
N = 18
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (28 + 45)/2 × 18
योग = (73 × 18)/2
योग = 73 × 9
योग = 657

Ans. 657

Q.7 2 से लेकर 58 तक की सभी सम संख्याओ का योग क्या हैं?
A. 720
B. 820
C. 870
D. 900

हल:- प्रश्नानुसार,
2 + 4 + 6 +…………..+ 54 + 56 + 58
N = (अन्तिम संख्या – प्रथम संख्या) / 2 + 1
N = (58 – 2)/2 + 1
N = 56/2 + 1
N = 28 + 1
N = 29
योग = (प्रथम संख्या + अंतिम संख्या) / 2 × n
योग = (2 + 58) / 2 × 29
योग = 60/2 × 29
योग = 30 × 29
योग = 870

Ans. 870

Q.8 28 से 80 तक की सभी सम संख्याओं का योग बताइए?
A. 1230
B. 1320
C. 1458
D. 1650

हल:- प्रश्नानुसार,
28 + 30 + 32 + …………….+ 76 + 78 + 80
पहली संख्या = 28
अंतिम संख्या = 80
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (80 – 28)/2 + 1
N = 52/2 + 1
N = 26 + 1
N = 27
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (28 + 80)/2 × 27
योग = (108 × 53)/2 × 27
योग = 54 × 27
योग = 1458

Ans. 1458

Q.9 1 से 69 तक कि सभी विषम संख्याओं का योग बताइएं?
A. 1225
B. 1480
C. 1660
D. 1870

हल:- प्रश्नानुसार,
1 + 3 + …………….+ 67 + 69
पहली संख्या = 1
अंतिम संख्या = 69
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (69 – 1)/2 + 1
N = 68/2 + 1
N = 34 + 1
N = 35
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (1 + 69)/2 × 35
योग = 70/2 × 35
योग = 35 × 35
योग = 1225

Ans. 1225

Q.10 23 से 71 तक की सभी विषम संख्याओं का योग बताइएं?
A. 1176
B. 1175
C. 1178
D. 1179

हल:- प्रश्नानुसार,
23 + 25 + 27 + 29 +…………….+ 67 + 68 + 71
पहली संख्या = 23
अंतिम संख्या = 71
N = (अंतिम संख्या – पहली संख्या)/वर्ग अंतराल + 1
N = (71 – 23)/2 + 1
N = 48/2 + 1
N = 24 + 1
N = 25
प्राकृतिक संख्याओं का योग = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 × n
योग = (23 + 71)/2 × 25
योग = 94/2 × 25
योग = 47 × 25
योग = 1175

Ans. 1175

Q.11 1 से 80 तक कि सभी प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग बताइए?
A. 1,73,880
B. 1,73,880
C. 1,73,880
D. 1,73,880

हल:- प्रश्नानुसार,
n = 80
योग = n (n +1) (2n + 1) / 6
योग = 80 (80 + 1)(2 × 80 + 1) / 6
योग = 80 × 81 (160 + 1) / 6
योग = 80 × 81 × 161 / 6
योग = 1,73,880

Ans. 1,73,880

Q.12 1 से 32 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग बताइये?
A. 10,580
B. 11,440
C. 12,640
D. 14,720

हल: प्रश्नानुसार,
n = 32
योग = n (n + 1) (2n +1 ) / 6
योग = 32 (32 + 1)(2 × 32 + 1) / 6
योग = 32 × 33 (64 + 1) / 6
योग = (32 × 33 × 65) / 6
योग = 16 × 11 × 65
योग = 11,440

Ans. 11,440

Q.13 1 से 10 तक की सभी प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग बताये?
A. 385
B. 450
C. 520
D. 620

हल: प्रश्नानुसार,
n = 10
योग = n (n + 1) (2n + 1) / 6
योग = 10 (10 + 1) (2 × 10 + 1) / 6
योग = 10 × 11 (20 + 1) / 6
योग = (10 × 11 × 21) / 6
योग = (11 × 7 × 5) / 6
योग = 385

Ans. 385

Q.14 1 से 18 तक की सभी प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग बताइये?
A. 2200
B. 2109
C. 3180
D. 2870

हल: प्रश्नानुसार,
n = 18
योग = n (n + 1) (2n + 1) / 6
योग = 18 (18 + 1) (2 × 18 + 1) / 6
योग = 18 × 19 (36 + 1) / 6
योग = (18 × 19 ×3 7) / 6
योग = 3 × 19 × 37
योग = 2109

Ans. 2109

15. 20 से 70 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग बताइये?
A. 321780
B. 237890
C. 114325
D. 23678

हल:- प्रश्नानुसार,
n = 70
n = 19
n (n + 1) (2n + 1) / 6 – n (n + 1) (2 n + 1) / 6
70 (70 + 1) (2 × 70 + 1) / 6 – 19 (19 + 1) (2 × 29 + 1) / 6
(70 × 71 × 141 / 6) – (19 × 20 × 39 / 6)
(35 × 71 × 47) –  (19 × 10 × 13)
116795 – 2470
114325

Ans. 114325

Q.16 12 से 25 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग बताइये?
A. 5019
B. 7089
C. 8095
D. 3270

हल:- प्रश्नानुसार,
n = 25
n = 11
[n (n + 1) (2n + 1)] / 6 – [n ( n + 1) ( 2 n + 1 )] / 6
[25(25 + 1) (2 × 25 + 1)]/ 6 – 11 [(11 + 1) (2 × 11 + 1)] / 6
(25 × 26 × 51) / 6 – ( 11 × 12 × 23) / 6
(25 × 13 × 17) – (11 × 2 × 23)
5,525 – 506
5,019

Ans. 5,019

Q.17 1 से 90 तक की सभी प्राकृत संख्याओं के घनों का योग क्या हैं?
A. 1689000
B. 3257890
C. 6789087
D. 1669025

हल:- प्रश्नानुसार,
[n (n + 1) / 2]²
n = 90
[90 (90 + 1) / 2]²
(90 × 91 / 2)²
(8190 / 2)²
(4095)²
1669025

Ans. 1669025

Q.18 1 से 10 तक कि सभी प्राकृत संख्याओं के घनों का योग क्या है?
A. 3020
B. 3025
C. 3250
D. 3590

हल:- प्रश्नानुसार,
[n (n + 1) / 2 ]²
n = 10
[10 (10 + 1) / 2]²
[(10 × 11) / 2 ]²
(11× 5)²
(55)²
3025

Ans. 3025

Q.19 15 से 60 तक की सभी प्राकृत संख्याओं के घनों का योग क्या होगा?
A. 3237875
B. 3337875
C. 3437875
D. 3537875

हल:- प्रश्नानुसार,
n = 60
n = 14
[n (n + 1) / 2 ]² – [n (n + 1) / 2 ]²
[60 (60 + 1) / 2]² – [(14 (14 + 1) / 2 ]²
[(60 × 61)/2]² – [(14 × 15)/2]²
(61 × 30)² – (15 × 7)²
(1830)² – (105)²
3,348,900 – 11,025
3,337,875

Ans. 3,337,875

Q.20 3 के तीन क्रमागत गुणजों का योग 90 हैं, तो सबसे बड़ी संख्या होंगी?
A. 24
B. 27
C. 33
D. 39

हल:- प्रश्नानुसार,
माना, 3 के तीन क्रमागत गुणज क्रमशः
3x, 3(x + 1) एवं 3(x + 2) हैं।
3x + 3(x + 1) + 3(x + 2) = 90
3x + 3x + 3 + 3x + 6 = 90
9x + 9 = 90
9x = 90 – 9
9x = 81
x = 9
सबसे बड़ी संख्या = 3 × (9 + 2)
3 × 11 = 33

Ans. 33

जानवरों की संख्या पर आधारित प्रश्न

• चार पैर वालों की संख्या = (पैर / 2) – सिर
• दो पैर वालों की संख्या = सिर – चार पैर वालों की संख्या

Q. 21 1 गड़िया अपनी भेड़े चढ़ा रहा था यदि जमीन पर पैरों की कुल संख्या 230 हैं और सिरों की कुल संख्या 60 हैं तो बताये उसके पास भेड़ों की कुल कितने संख्या हैं?
A. 50
B. 55
C. 60
D. 65

हल:- प्रश्नानुसार,
चार पैर वालों की संख्या = (पैर / 2) – सिर
(230 / 2) – 60
115 – 60
55

Ans. 55

Q.22 एक पेड़ पर कुछ तोते बैठे हैं, और पेड़ के नीचे कुछ बकरियाँ खास चढ़ रही हैं, तो सिरों की संख्या 35 हैं, पैरों की संख्या की कुल संख्या 90 हैं, बताइये तोते व बकरियों की कुल संख्या कितनी हैं?
A. 20
B. 25
C. 30
D. 35

हल:- प्रश्नानुसार,
चार पैर वालों की संख्या = पैर / 2 – सिर
90 / 2 – 35
10
दो पैर वालों की संख्या = सिर – चार पैर वालों की संख्या
35 – 10
25

Ans. 25

Q.23 एक तालाब के किनारे बगुले अपना चारा चुग रहे हैं, वही कुत्ते खेल रहे हैं, यदि उनके सिरे की कुल संख्या 24 हैं, और पैरों की कुल संख्या 60 हैं, तो कुत्तों की संख्या और बगुलों की संख्या कितने हैं?
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24

हल:- प्रश्नानुसार,
चार पैर वालों की संख्या = पैर / 2 – सिर
60 / 2 – 24
30 – 24
6
दो पैर वालों की संख्या = सिर – चार पैर वालों की संख्या
24 – 6
18

Ans. 18

Q.24 एक चिड़िया घर में चूहे और कबूतर हैं, यदि सिरों की कुल संख्या 90 और पैरों की कुल संख्या 224 हैं, तो बताइए कबूतरों की कुल संख्या कितनी हैं?
A. 68
B. 70
C. 72
D. 76

हल:- प्रश्नानुसार,
चार पैर वालों की संख्या = पैर / 2 – सिर
224 / 2 – 90
112 – 90
22
दो पैर वालों की संख्या = सिर – चार पैर वालों की संख्या
90 – 22
68

उत्तर: 68

Q.25 किसी व्यक्ति के पास कुछ मुर्गीया और गाय हैं यदि इनके पैरों की कुल संख्या 140 हैं और इनके मस्तिक की कुल संख्या 48 तो बताइए मुर्गियों की संख्या कितनी हैं?
A. 22
B. 26
C. 28
D. 30

हल:- प्रश्नानुसार,
चार पैर वालों की संख्या = पैर / 2 – सिर
140 / 2 – 48
70 – 48
22
दो पैर वालों की संख्या = सिर – चार पैर वालों की संख्या
48 – 22
26

Ans. 26

संख्याओं पर आधारित उदाहरण

Q.26 किसी संख्या का 2/3 का 3/4 का 4/5 यदि 420 हैं तो वह संख्या क्या हैं?
A. 1050
B. 1250
C. 1460
D. 1460

हल:- प्रश्नानुसार,
1 × 2/3 × 3/4 × 4/5 = 420
1 × 2/5 = 420
1 = 420 × 5 / 2
1= 210 × 5
1050 ans.

Q.27 किसी संख्या का 3/7 का  1/4 का 2/5 यदि 15 हैं तो वह संख्या क्या हैं?
A. 300
B. 320
C. 350
D. 420

हल:- प्रश्नानुसार,
x × 3/7 × 1/4 × 2/5 = 15
x = (15 × 7 × 4 × 5)/(3 × 2)
x = 5 × 7 × 2 × 5
x = 35 × 10
x = 350

Ans. 350

Q.28 एक संख्या तथा उस संख्या का 3/5 दोनों का अंतर 50 हैं, तो वह संख्या क्या हैं?
A. 125
B. 120
C. 130
D. 115

हल:- प्रश्नानुसार,
x – x × 3/5 = 50
x – 3/5 x = 50
(5x – 3x)/5 = 50
2x/5 = 50
2x = 250
x = 125

Ans. 125

Q.29 2 संख्याओं का योगफल और गुणन फल क्रमशः 11 और 18 हैं, तो इन संख्याओं व्युत्क्रमों का योगफल क्या होगा?
A. 11/18
B. 18/11
C. 21/19
D. 19/21

उत्तर: 11/18

Q.30 एक परीक्षा में एक छात्र को किसी संख्या का 3/14 ज्ञात करने को कहा जाता हैं लेकिन उसने गलती से संख्या का 3/4 ज्ञात किया किया, इस से उसका उत्तर सही उत्तर से 150 अधिक आया बताइये वह संख्या क्या होगी?
A. 280
B. 180
C. 320
D. 420

हल:- प्रश्नानुसार,
1 × 3/14 = 3/14
1 × 3/4 = 3/4
3 / 14 – 3/4 = 150
6 – 21/28 = 150
15/28   = 150
150 × 28/15
280

Ans. 280

Q.31 किसी विघार्थी को एक संख्या को 12 से गुणा करने को कहा गया लेकिन गलती से उसने उस संख्या को 21 से गुणा कर दिया इस प्रकार उसका उत्तर सही उत्तर से 63 अधिक था?
A. 7
B. 10
C. 12
D. 14

हल:- प्रश्नानुसार,
12 x – 21 x = 63
9 x = 63
x = 7

Ans. 7

Q.32 यदि किसी संख्या के 1/5 की दो तिहाई की तीन चौथाई 24 हैं तो वह संख्या क्या होंगी?
A. 250
B. 140
C. 120
D. 320

हल:- माना कि संख्या x हैं,
प्रश्नानुसार,
x × 1/5 × 2/3 × 3/4 = 24
x = (24 × 5 × 3 × 4)/2 × 3
x = 24 × 5 × 2
x = 24 × 10
x = 240

Ans. 240

Q.33 किसी संख्या के चौथाई का तीसरा भाग 25 होता हैं वह संख्या क्या हैं?
A. 60
B. 80
C. 160
D. 320

हल:- प्रश्नानुसार,
मान कि संख्या x हैं।
x × 1/4 × 1/3 = 25
x = 25 × 4 × 3
x = 300

Ans. 300

Q.34 किसी संख्या के एक तिहाई के एक चौथाई का दो तिहाई 6 हैं तो वह संख्या क्या हैं?
A. 96
B. 78
C. 108
D. 144

हल:- प्रश्नानुसार,
माना, संख्या x हैं
x × 1/3 × 1/4 × 2/3 = 6
x = (6 × 3 × 4 × 3)/2
x = 6 × 3 × 2 × 3
x = 18 × 6
x = 108

Ans. 108

Q.35 एक संख्या के 1/2, 1/4 तथा 1/8 भागों का योग 28 हैं वह संख्या हैं?
A. 30
B. 32
C. 34
D. 36

हल:- माना, कि संख्या x हैं
प्रश्नानुसार,
x/2 + x/4 + x/8 = 28
(4x + 2x + x)/8 = 28
7x/8 = 28
x = (28 × 8) × 7
x = 4 × 8
x = 32

Ans. 32

Q.36 यदि किसी संख्या का 1/4, 72 हैं, तो उस संख्या का 2/3 क्या होगा?
A. 54
B. 196
C. 192
D. 200

हल:- प्रश्नानुसार,
माना, संख्या x हैं तो
x/4 = 72
x = 72 × 4
x = 288
2x/3
(2 × 288)/3
96 × 2
192

Ans. 192

इकाई अंक पर आधारित प्रश्न

• इकाई के स्थान पर यदि 0 होगा तो इकाई का अंक 0 होगा।
• इकाई के स्थान पर यदि 1 होगा तो इकाई का अंक 1 होगा।
• इकाई के स्थान पर यदि 5 होगा तो इकाई का अंक 5 होगा।
• इकाई के स्थान पर यदि 6 होगा तो इकाई का अंक 6 होगा।

Q37. 63 × 92 × 43 × 109 × 69 इकाई का अंक क्या होगा?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8

हल : इकाई का अंक लेने पर
= 3 × 2 × 3 × 9 × 9
= 18 × 81
= 8 ans.
इकाई का अंक 8 होगा।

Trick1. इस प्रकार की स्थिति में आधार वाली संख्या में क्रमशः 0, 1, 5, 6, इकाई अंक होने पर उत्तर भी क्रमशः 0, 1, 5, और 6 ही होगा।

Trick2. यदि आधार वाली संख्याओं में इकाई अंक  2, 3, 4, 7, 8, 9, होता है, तो

1. घात को 4 से विभाजित करें, और इससे प्राप्त शेषफल आधार में लिखी संख्या में इकाई अंक पर लगाये।
2. शेषफल के रूप में 1, 2, और 3, प्राप्त होगा और पूर्णता विभाजित होने पर 0 प्राप्त होगा यदि शेषफल 0 प्राप्त होता हैं तो घात 4 की लम्बाई जाएगी।

Q.38 ( 4137 )¹³²
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6

132 / 4
संख्या में 4 से भाग देने पर शेष 0 बचता हैं अतः यहाँ इकाई के अंक पर 4 की घात लेंगे।
(7)⁴
7×7×7×7
49 × 49
1
अतः इकाई का अंक 1 होगा।

Q.39 (1524)⁸¹
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

Ans. 4

Q.40 (781)⁸⁰
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

Ans. 5

क्रमागत संख्याओं पर आधारित प्रश्न

Q.41 तीन लगातार सम संख्या का औसत 24 हैं, तो सबसे छोटी सम संख्या बताए?
A. 20
B. 10
C. 40
D. 22

22, 24, 16

Ans. 22

Q.42 पांच क्रमागत सम संख्याओं का योग 80 हैं, तो बताएं सबसे बड़ी सम संख्या कौन सी हैं?
A. 10
B. 20
C. 15
D. 30

12, 14 16, 18, 20

Ans. 20

Q.43 पांच क्रमागत सम संख्याओं का योग 250 हैं, तो सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के योग का वर्ग क्या होगा?
A. 1000
B. 10000
C. 100
D. 2000

हल:- प्रश्नानुसार,
250 / 5
50
46, 48, 50, 52, 52,
46+54
(100)²
10000

Ans. 10000

Q.44 तीन क्रमागत विषम संख्याएँ और उनका योग 51 हैं तो सबसे छोटी विषम संख्या का घन क्या होगा?
A. 3375
B. 3568
C. 3890
D. 4280

Ans. 3375

Q.45 5 क्रमागत विषम संख्या का योग 145 हैं, तो सबसे छोटी विषम संख्या का वर्ग ज्ञात करें?
A. 625
B. 620
C. 630
D. 650

Ans. 625

Q.46 5 क्रमागत विषम संख्याओं का योग 55 हैं तो सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का गुणन फल बताइये?
A. 100
B. 105
C. 110
D. 120

Ans. 105

Q.47 4 क्रमागत सम संख्याओं का योग 36 हैं बताइये तीसरी सबसे बड़ी संख्या बताये?
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

Ans. 10

Q.48 6 क्रमागत सम संख्याओं का योग 102 हैं सबसे छोटी संख्या का वर्ग बताइए?
A. 140
B. 144
C. 150
D. 156

Ans. 144

Q.49 4 क्रमागत विषम संख्याओं का योग 72 हैं, बताये सबसे बडी और सबसे छोटी संख्या का अंतर क्या है?
A. 4
B. 6
C. 9
D. 12

उत्तर: 6

Q.50 6 क्रमागत विषम संख्याओं का योग 180 हैं, तो चौथी सबसे बड़ी संख्या का वर्ग बताये?
A. 900
B. 921
C. 961
D. 990

Ans. 961

वर्गमूल (Square Root)

वर्गमूल वाले प्रश्न हल कण्व के लिए आपको नीचे दिए गए STEPS FOLLOW करने होते है।

• दाई ओर से दो अंकों का जोड़ा बनाये और शेष बचे सभी अंकों का एक जोड़ा बनाये।
• संख्या में दिया इकाई किसी संख्या का वर्गमूल करने पर प्राप्त होगी यह पता लगाएं और उसे उत्तर में सबसे अंत में लिखे।
• शेष अंकों के जोड़े से बनी हुई संख्या के सबसे नजदीक आने वाली ऐसी संख्या जिस संख्या का वर्ग हो उसे उत्तर में बाई ओर लिखे।
• यदि ऐसी स्थिति में दो संख्या प्राप्त हो तो उनके बीच इकाई अंक 5 वाली संख्या का वर्ग करके दी गई संख्या से तुलना करें, तुलना करने पर दी गई संख्या छोटी संख्या हैं, तो उत्तर छोटा होगा और दी गई संख्या तुलना करने पर बड़ी संख्या प्राप्त हो तो उत्तर बड़ा होगा।

Q.51 √11236 का वर्गमूल क्या होगा?

Ans. 106

Q.52 √8281 का वर्गमूल क्या होगा?

Ans. 91

Q.53 √9216 का वर्गमूल क्या होगा?

Ans. 96

Q.54 √1681 का वर्गमूल क्या होगा?

Ans. 41

Q.55 √21025 का वर्गमूल क्या होगा?

Ans. 145

घनमूल (Cube Root)

घनमूल वाले प्रश्न हल करने के लिए नीचे के 3 steps solve करने होते है।

• दी गई संख्या में दाई और से तीन अंकों का जोड़ा बनाये और शेष अंकों का जोड़ा बनाएं।
• दी गई संख्या में इकाई अंक जिस संख्या का घन करने से प्राप्त होगा वह संख्या उत्तर में सबसे अंत में लिखे।
• शेष अंकों के जोड़े से बनी हुई संख्या जिस संख्या के घन करने से उसके सबसे नज़दीक पहुँचे वह संख्या उत्तर में बाई ओर लिखे।

Q.56 3√110592 का घन मूल कितना होगा?

Ans. 48

Q.57 3√238328 का घन मूल कितना होगा?

Ans. 62

Q.58 785 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसमें न्यूनतम कौन सी संख्या जोड़ी जानी चाहिए?

Ans. 56

Q.59 यदि 12 के घन से 22 का वर्ग घटाया जाए तो कितना आएगा?

Ans. 1244

Q.60 1020 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए क्या जोड़ा जाना चाहिए?

Ans. 4

Q.61 कोई संख्या 779 से विभाजित करने पर 47 शेष बचती हैं, तो उसी संख्या को यदि 19 से विभाजित करने पर वह कितना शेष बचेगा?

Ans. 9

Q.62 किसी संख्या को 24 से भाग देने पर शेष 16 आता हैं उसी संख्या को 12 से भाग देने पर शेष क्या आएगा?

Ans. 4

Q.63 किसी संख्या को 5 से भाग देने पर 3 शेष बचता हैं, उसी संख्या के वर्ग को 5 से भाग दिया जाए तो क्या शेष बचेगा?

Ans. 4

Q.64 वह सबसे छोटी संख्या कौन सी हैं जिसे 1720 में जोड़ने पर प्राप्त संख्या पूर्ण घन हो?

Ans. 8

Q.65 किसी संख्या को 119 से भाग देने पर 19 शेष बचता हैं उसी संख्या को 17 से भाग देने पर क्या शेष बचेगा?

Ans. 4

सूत्र:-

• भाज्य = ( भाजक  × भागफल ) + शेषफल
• भाज्य – शेषफल = भाजक × भागफल
• भाज्य – शेषफल / भागफल = भाजक

Q.66 किसी भाग के प्रश्न में भागफल 403 हैं और यदि भाजक 100 हैं, एवं शेषफल 58 हैं तो भाज्य कितना हैं?

हल:- प्रश्नानुसार,
भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल
(100 × 403) + 58
40300 + 58
40358

Ans. 40358

Q.67 59762 को किसी संख्या से भाग देने पर भागफल 189 और शेषफल 38 प्राप्त होता हैं भाजक ज्ञात कीजिए?

Ans. 316

Q.68 1043 को किसी संख्या से भाग देने पर भागफल 11, शेष 20 प्राप्त होता हैं, भाजक क्या होगा?

Ans. 93

Q.69 भाग के एक प्रश्न का भाजक अपने भागफल का 10 गुना हैं और शेषफल का 5 गुना हैं यदि शेष फल 46 हैं, तो भाज्य कितना होगा?

Ans. 5,336

Q.70 विभाजन के किसी प्रश्न में भाजक भागफल का 4 गुना हैं, और शेषफल का 3 गुना हैं, यदि शेषफल 4 हैं तो भाज्य बताइए?

Ans. 40

Q.71 भाजक भागफल का 25 गुना हैं, तथा शेषफल का 5 गुना हैं, यदि भागफल 16 हैं तो भाज्य ज्ञात कीजिए?

Ans. 6480

Q.72 2005 को 16 से विभाजित करने के लिए कम से कम किस संख्या को घटाना चाहिए?

Ans. 5

Q.73 47015 को 22 से पूर्णतः विभाजित करने के लिए वह छोटी से छोटी कौन सी संख्या घटायी जानी चाहिए?

Ans. 1

Q.74 19000 में से कौन सी न्यूनतम संख्या घटाई जाए कि प्राप्त संख्या 24 से पूर्णतः विभाजित हो जाए?

Ans. 16

Q.75 11000 में से वह छोटी से छोटी संख्या कौन सी संख्या जोड़ दी जाए कि प्राप्त संख्या 17 से पूर्ण विभाजित हो जाए?

Ans. 16

अभ्यास : Exercises

Q.1 3.86 × 4.14 + 3.0002 = ?
A. 18.9808
B. 27.5612
C. 18.9824
D. 18.9806

Ans. 18.9806

Q.2 140 का 30% = 840 का ?%
A. 60
B. 5
C. 10
D. 15

Ans. 5

Q.3 250 का ?% + 68 का 25% = 67
A. 20
B. 10
C. 15
D. 25

Ans. 20

Q.4 4 × 32 का 75% = ?
A. 96
B. 150
C. 72
D. 24

Ans. 96

Q.5 (15.75 + 1.5)/(25 – 22.5) = ?
A. 0.5
B. 9.45
C. 3
D. 4.2

Ans. 4.2

Q.6 180 का 40% + 150 का 20% = 340 का x% हो तो x = ?
A. 170
B. 60
C. 30
D. 20

Ans. 30

Q.7 12.5 + 100 का 41/4 ÷ 10 का 10% = ?
A. 1037.5
B. 115
C. 103.75
D. 1038

Ans. 1037.5

Q.8 (½ ÷ 4 + 20) / ½ × 4 + 20 = ?
A. 81/88
B. 65/38
C. 161/176
D. 1

Ans. 161/176

Q.9 (40 × 15 + 25)/(26 – 1) = ?
A. 84
B. 25
C. 49
D. 64

Ans. 25

Q.10 √?/196 = 72/56
A. 18
B. 14
C. 324
D. 520

Ans. 324

Q.11 (1000² – 999²) बराबर हैं?
A. 1
B. 1000
C. 999
D. 1999

Ans. 1999

Q.12 (73 × 73 + 48 × 48 – 73 × 48 × 2) का मान होगा?
A. 620
B. 625
C. 860
D. 956

Ans. 625

Q.13 752 + 3147 + 1008 + 29 = ?
A. 4946
B. 5936
C. 4935
D. इनमें से कोई नहीं

Ans. इनमें से कोई नहीं

Q.14 7 + 77 + 777 + 7777 = ?
A. 863388
B. 86383
C. 863383
D. इनमें से कोई नहीं

Ans. इनमें से कोई नहीं

Q.15 12.368 + 5.291 + ? = 27.12
A. 44.779
B. 10.461
C. 9.461
D. 17.659

Ans. 9.461

Q.16 18/√36 × 24/√9 × 120/√? = 720
A. 4
B. 16
C. 8
D. 2

Ans. 16

Q.17 19 का 3/19 = ?
A. 19
B. 120
C. 13/2
D. 3

Ans. 3

Q.18 8576 + 1916 + 2058 = ?
A. 13000
B. 12450
C. 12730
D. इनमें से कोई नहीं

Ans. इनमें से कोई नहीं

Q.19 4/5 का 3/4 का 100 = ?
A. 40
B. 28
C. 20
D. इनमें से कोई नहीं

Ans. इनमें से कोई नहीं

Q.20 910011 × 101 = ?
A. 919111
B. 91911111
C. 9911111
D. 9100011

Ans. 91911111

जरूर देखे :–

• दौड़ से संबंधित प्रश्न उत्तर
• दशमलव भिन्न के सूत्र
• क्रमचय एवं संचय के सूत्र, नियम
• प्रायिकता के सूत्र नियम, उदाहरण

Note#1.  इस प्रकार के प्रश्नों में शेषफल को संख्या से घटाने पर एक संख्या बनती हैं, और भाजक तथा शेषफल को अक्षर में जोड़ने पर एक संख्या बनती हैं, इस प्रकार की दोनों संख्याओं में दी गई संख्या से तुलना करने पर सबसे निकटतम संख्या ही उत्तर होगा।

Note#2. ऐसे प्रश्नों में शेष फल और भाजक तक शेष फल का अंतर जो भी सबसे कम हो उसके द्वारा बनी हुई संख्या सबसे निकटतम होगी।

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